Junge oder Mädchen ?

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superdonk Auf diesen Beitrag antworten »
Junge oder Mädchen ?
In einem anderen Forum wurde folgendes diskutiert:

Hi,

ein Freund von mir hat 2 Kinder.
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens ein Mädchen hat ?

ach ja, eins der beiden Kinder ist ein Junge...
2) Wie hoch ist die WK, dass das andere Kind ein Mädchen ist ?

achso... der eben erwähnte Junge ist das Erstgeborene Kind meines Freundes..
3) Wie hoch ist die WK, dass das andere Kind ein Mädchen ist ?


Bei 1) sind alle der Meinung, dass 3/4 rauskommt bei 3) denken alle, dass 1/2 rauskommt


Bei 2) gehen die Meinungen auseinander. Die einen argumentieren, dass von den ursprünglichen gleichwarscheinlichen Fällen JJ, JM, MJ und MM nur noch JJ, JM und MJ übrig bleiben und deshalb 2/3 rauskommt.

Die anderen argumentieren so:

Die 2/3-Drittel Fraktion irrt sich gewaltig...

Ihr könnt nicht sagen, es gibt JM, MJ und JJ und dann sagen, es sind 2 von 3, also 2/3.

Wenn Ihr so herangeht, dann müsst Ihr Folgendes betrachten:

1. Fall: Das erste Kind ist ein Junge, dann gibt es noch folgende gleichwahrscheinliche Kombinationen: JJ, JM Die Wahrscheinlichkeit ist also 50%.

2. Fall: Das zweite Kind ist ein Junge, dann gibt es die folgenden gleichwahrscheinlichen Kombinationen: JJ, MJ. Die Wahrscheinlichkeit ist auch wieder 50%.

Beide Fälle kann ich jetzt sogar gewichten, wie ich will, es wird am Ende immer 50% herauskommen.




Könnt ihr das mal auflösen und am besten dazu schreiben warum?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin der Meinung die 2/3-Fraktion hat Recht.

Der Haken liegt bei der 50%-Argumentation liegt darin, dass die beiden Fälle nicht disjunkt sind, d.h. sich nicht gegenseitig ausschließen.


Formal kann man die 2/3 mit dem Satz von Bayes zeigen. Betrachte dazu die Ereignisse J: Mind. ein Kind ist ein Junge und JJ: Beide Kinder sind Jungs und berechne
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ich bin der Meinung die 2/3-Fraktion hat Recht.

Und das vollkommen zurecht. Freude
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich grab das mal aus weil ich mich gerade damit beschäftige.

Es geht um Fall 2 also um die Frage:

Zitat:
Eine Mutter hat zwei Kinder und wird nach dem Geschlecht der Kinder gefragt. Wenn wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist?


bei wikipedia steht 2/3 als Lösung

http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit


in einem spiegel artikel http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensc...,708540,00.html ebenso


Doch in einem Mathe Buch kommt der Autor auf 1/2

http://www.abload.de/image.php?img=2jwpse.jpg


Mittlerweile nach 2 Stunden und einer Menge Hirnakrobatik bin ich davon überzeugt, dass 1/2 richtig ist und ich vermute, dass bei der Sache mit dem Dienstag aus dem Spiegelartikel der gleiche Fehler begangen worden ist. Bestimmt hab ich schon zig Wahrscheinlichkeitsaufgaben mit genau dem gleichen Denkfehler falsch bearbeitet und noch schlimmer keiner hat mich korrigiert....


edit:

Ergänzung: Nur wenn die Mutter immer auf die Frage nach dem Geschlecht ihrer Kinder mit "mindestens eines ist ein mädchen" antwortet sobald das wahr ist und ansonsten gar nichts sagt stimmt 2/3.




Vielleicht macht sich jemand die Mühe und denkt sich da mal rein und bestätigt oder widerlegt meine Auffassung. Vielleicht fällt es jemandem, der sich ständig mit Mathe beschäftigt auch leichter als mir.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hatten wir den Spiegelartikel schonmal ausführlicher diskutiert.

Ich finde die Argumentation bisher (es ist allerdings auch 0430) sehr schlüssig in dem von dir verlinkten Buch:

Es wird argumentiert: In den Fällen mw und wm hätte die Information "Mindestens einer ist ein Junge" genauso gut auch lauten können "Mindestens eine ist ein Mädchen".
Dann allerdings hätte man auch im Falle ww gesagt "Mindestens eine ist ein Mädchen", obwohl sich dann die Frage nach den Jungen garnichtmehr stellt.

Das heißt, wenn man a priori weiß: Es wird grundsätzlich gesagt "Mindestens einer ist ein Junge", aber niemals "Mindestens eine ist ein Mädchen" - womit garkeine Information (bzw. eine eindeutige Information) geliefert wird, wenn ww vorliegt, dann stimme ich den 2/3 zu.
Wenn aber - wie der Autor des Buches in seinem Beispiel voraussetzt - a priori die Nennung des Mädchens als Zusatzinformation genauso wahrscheinlich ist wie die Nennung des Jungen (wie eben beim "man zeigt sich am Fenster), dann stimme ich den 1/2 zu.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch immer wieder schön, dass man diese uralten Probleme neu einkleiden und dadurch Verwirrung stiften kann, wie dieses Buch es tut. Das Buch behandelt den Fall:

(1) Das erste Kind, das sich zeigt, ist ein Junge.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist, ist dann 1/2.

Dann tut das Buch so, als sei dieser Fall identisch mit mit Fall:

(2) Mindestens ein Kind ist ein Junge.

Es sind sich (fast) alle einig, dass dann die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist, sich zu 2/3 ergibt. Und deshalb behauptet dieses Buch, diese Antwort sei falsch. Das ist grober Unfug.

Die beiden Fälle sind nicht identisch. Die Information (1) ist völlig gleichwertig zu der Information, das ältere Kind ist ein Junge. Dabei geht es ja nicht um die speziellen Kategorien älter/jünger. Es geht lediglich darum, dass man die Kinder in zwei Gruppen unterteilt, deren Wahrscheinlichkeit für Junge oder Mädchen gleich groß ist. Das kann statt älter/jünger auch lebhafter/weniger lebhaft, größer/kleiner, schwerer/leichter sein. Wobei man bei den letzten Beispielen natürlich bezweifeln kann, ob in diesen Kategorien die Wahrscheinlichkeit für Junge/Mädchen gleich groß ist. Jedenfalls ist 'erstes Kind, das sich zeigt' eine dazu äquivalente Zweiteilung.

Der Fall (1) und der Fall (2) scheiden beide die Moglichkeit MM aus. Aber der Fall (1) scheidet zusätzlich die Hälfte aller Fälle von MJ und JM aus. Der Fall (2) scheidet dagegen nur die Fälle MM aus.

Es gibt keinen Grund, die Bücher zu revidieren (bis auf dieses eine) oder die Wikipedia zu ändern.
 
 
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon, dass es bei (2) wichtig ist wie man zu der Aussage kommt, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist.

Wird einem die Information immer dann gegeben wenn sie zutrifft und wird gar nichts gesagt wenn sie nicht zutrifft oder wählt der, der einem die info gibt zufällig ein kind aus, bestimmt sein geschlecht und teilt uns dann mit, dass mindestens ein kind von diesem geschlecht vorhanden ist.



Wir sind uns ja einig, dass ohne Zusatzinformation die Fälle:

{(m,m),(m,j),(j,m),(JJ)} gleichwarscheinlich sind.

Wenn man nun sagt, dass die Info
"mindestens eines der Kinder ist ein Junge" einfach nur den Fall (m,m) ausschließt stimmt 2/3.

Aber paradox wird das ganze ja nur weil man wenn man das Rätsel liest glaubt es auf die Wirklichkeit übertragen zu können, also aus dem Sichten eines der Kinder einer 4-köpfigen Familie die Warscheinlichkeit dafür, dass das Geschlecht des anderen Kindes weiblich/männlich ist auf 1/3 bzw. 2/3 bestimmen zu können.

Wenn man das Rätsel so stellen würde:

Eine Familie hat zwei Kinder wobei der Fall, dass es zwei Mädchen hat ausgeschlossen ist. Wie sehen die möglichen Kindkombinationen aus?

Wäre die Lösung klar aber dann wäre aus auch nicht mehr überraschend.

Zitat:
Es sind sich (fast) alle einig, dass dann die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist, sich zu 2/3 ergibt. Und deshalb behauptet dieses Buch, diese Antwort sei falsch. Das ist grober Unfug.


Nein das Buch hat in seiner Aufgabenstellung eindeutig Typ (1) und argumentiert immmer nur unter dieser Prämisse.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bier17
Ich denke schon, dass es bei (2) wichtig ist wie man zu der Aussage kommt, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist.

Wird einem die Information immer dann gegeben wenn sie zutrifft und wird gar nichts gesagt wenn sie nicht zutrifft oder wählt der, der einem die info gibt zufällig ein kind aus, bestimmt sein geschlecht und teilt uns dann mit, dass mindestens ein kind von diesem geschlecht vorhanden ist.

Zu einer mathematisch sauberen Aufgabenstellung gehört, dass klar ist, welche Informationen man hat. Jetzt konstruierst du einen Fall, bei dem das nicht klar ist. Und das umschreibst du mit den Worten, es ist wichtig, wie man zu der Aussage kommt. Das nenne ich ich Vernebelung durch Wortgeklingel.

Zitat:
Aber paradox wird das ganze ja nur weil man wenn man das Rätsel liest glaubt es auf die Wirklichkeit übertragen zu können, also aus dem Sichten eines der Kinder einer 4-köpfigen Familie die Warscheinlichkeit dafür, dass das Geschlecht des anderen Kindes weiblich/männlich ist auf 1/3 bzw. 2/3 bestimmen zu können.

Da ist nichts paradox. wenn ich warte, bis sich ein Kind zeigt und annehme, dass sich Jungen und Mädchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit als erstes zeigen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind das gleiche Geschlecht hat 1/2 und nicht 1/3 und auch nicht 2/3.

Zitat:
Nein das Buch hat in seiner Aufgabenstellung eindeutig Typ (1) und argumentiert immmer nur unter dieser Prämisse.

Nein das tut es nicht. Da steht explizit: Eine vielfach gegebene Antwort auf das oben gestellte Problem ... 1/3.
Diese Antwort wird aber gerade nicht auf das im Buch gestellte Problem gegeben, sondern auf ein anderes Problem.
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