Streckung Rechtecke

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abi2006ts Auf diesen Beitrag antworten »
Streckung Rechtecke
Hi !

Wie kann ich mit Hilfe der mathematischen Streckung beweisen, dass unter allen umfangsgleichen Rechtecken das Quadrat den größten Flächeninhalt hat ??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streckung Rechtecke
Was meinst du denn mit "mathematische Streckung"??
Ansonsten wär das ein Thema, was schon öfters mal in der Analysis vorkam. Du kannst also zwei Gleichungen aufstellen und dann eine in die andere einsetzen. Ich weiß aber nicht, ob es das ist was du willst. Geometrisch hätte ich nur was mit Höhensatz anzubieten.
Äußer dich am besten mal, was du mit "mathematischer Streckung" meinst! Dann kann ich dir vielleicht weiterhelfen.
 
 
abi2006ts Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, "mathematische Streckung" war falsch formuliert von mir.
Ich weiß nur, das ich die Lösung mit Hilfe des Höhensates des Euklid lösen kann (soll). Aber wie?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat schonmal jemand gemacht. Ich geb dir mal das Zitat davon:

Zitat:
Original von Poff

Hi,

diese Aufgabe liese sich viel eleganter geometrisch lösen.

Falls U=const, dann ist auch

U/2 = Seite1 + Seite2 =constant
F= Seite1*Seite2

Weil U/2 constant ist, lässt es sich als eine fixe Stecke auftragen.
Zeichnet man über dieser Strecke den Thaleskreis und wählt
einen BELIEBIGEN Teilpunkt auf der Strecke a =U/2 aus,
so entspricht die Länge der Senkrechten darüber
( bis zum Thaleskreis hin ) der Höhe H eines rechtwinkligen Dreiecks
mit der Grundlinie U/2

Nach dem Höhensatz gilt:
H² =p*q = Teilstrecke1 * Teilstrecke2 = Seite1*Seite2 = F

Wegen des Halbkreises ist offensichtlich, dass H² genau für
p=q bzw Seite1=Seite2 maximal wird.


Dies ist der geometrische Beweis dafür, dass das Quadrat dasjenige
Rechteck ist, das bei vorgegebenen Umfang, maximale Fläche liefert.


Wenn du irgendwas nicht verstanden hast, dann frag einfach!

Und dann noch was: Ich zitier nochmal ne Zeile von dem Zitat oben:

Zitat:
Wegen des Halbkreises ist offensichtlich, dass H² genau für
p=q bzw Seite1=Seite2 maximal wird.


Wenn du dafür auch noch einen Beweis willst (, dass h² genau dann maximal wird, wenn p=q), musst du nur sagen, den könnte ich dir auch noch geben.
abi2006ts Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, macht Sinn...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, hier der Beweis dafür, dass h² genau dann am größten ist, wenn p=q:

Nach dem Höhensatz gilt:



Das ist die Zielfunktion. Für die Nebenbedingung muss man erstmal, wie es in Poffs Lösung ist, den Thaleskrais um c ziehen. c ist dann Durchmesser des Thaleskreises. Der Durchmesser und somit auch c ist doppelt so groß wie der Radius. Also:



Außerdem gilt:



und somit



Mit wird daraus:



Das kann man in die Zeilfunktion einsetzen:





Da h² maximal werden soll, muss man diese Funktion ableiten und gleich 0 setzen:





Daraus folgt, dass



Eingesetzt in die Gleichung



bzw.



ergibt das:





h² wird also genau dann maximal, wenn p=r und q=r, also wenn



Somit hat das Rechteck mit konstantem Umfang (also 2(p+q)) genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn die beiden Seitenlängen gleich lang sind. Somit ist es ein Quadrat.
w. z. b. w.
abi2006ts Auf diesen Beitrag antworten »

ja, super. danke
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Also, hier der Beweis dafür, dass h² genau dann am größten ist, wenn p=q:

Nach dem Höhensatz gilt:
...


@Mathespezialschüler

das ist hübsch, aaber 'Unsinn'.

Du kannst ein geometrischen Weg doch nicht dadurch
'vervollständigen' wollen, indem du differential-analytisches
hinterherziehst :-oo

h² ist maximal wo h maximal ist und nach Konstruktions-
vorgabe liegt doch der eine Endpunkt von h auf dem Thaleskreis
und dieser Punkt liegt genau dort am 'höchsten' wo auch der
(Thales)Kreis seine 'höchste Stelle' hat .... und die ist aus
Symmetriegründen stets genau senkrecht über der Mitte der
zugehörigen Sehne, in diesem Falle also
genau über der MITTE der Thaleskreisgrundlinie.


smile

wenn schon differential-analytisch dann auch ganz und nicht
im Mischmasch mit geometrischen Teilen :-o
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