Konvergenz und Divergenz einer Reihe

Neue Frage »

Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Divergenz einer Reihe
Hi Leute!

Da es ja das letzte mal mit meinen Fragen prma klappte, probiere ich es wieder.
Also es geht um Konvergenz und Divergenz einer Reihe.


1) Konvergenz einer Reihe:
Eine Reihe sei konvergent, wenn die Reihe endlich sei. Sie besitze also einen Grenzwert.

2) Divergenz einer Reihe:
Dies ist das Gegenteil von Konvergenz. Das heißt also, dass eine Reihe kein Grenzwert besitze d.h. es gibt kein Ende. Das "kein Ende" darf man aber nicht mit dem "unendlich" verwechseln d.h. eine divergente Reihe strebt nicht gegen unendlich.
Ein Beispiel dafür wäre ja dann auf dem folgenden Link:
http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img665.gif

3) Bestimmte Divergenz:
Das Besondere hierbei wäre, dass die Reihe gegen plus und minus unendlich streben würde. Dies würde bei einer alternierenden Reihe der Fall sein.
Anders als bei dem Punkt 2 ist, dass bei der bestimmten Divergenz also eine Reihe nun unendlich sei. Die Folgeglieder dieser Reihe also erreichen einen sehr hohen Wert, wobei eine nur divergente Reihe sich z.B. in einem Kreis befindet, wobei die Folgeglieder sagen wir mal nur im Intervall von 3 bis 10 sind(dummes beispiel, aber kann es nicht anders erklären).

4) Unbestimmte Divergenz:
Eine Reihe sei unbestimmt divergent, wenn die Reihe nicht bestimmt divergent wäre und auch nicht konvergent. Das heißt, eine Reihe strebe nicht gegen unendlich und hat auch keinen Grenzwert.
Solch eine Reihe kann man auch nur Divergent bezeichnen.

5) Absolute Konvergenz:
Hierbei konnte ich noch nicht so viel erfahren, aber so wie es bisher aussah, konvergiere hierbei eine Reihe gegen einen positiven UND(?) negativen Wert. Es wäre also wieder bei der alternierenden Reihe der Fall.
Das entnahm ich aus dem folgenden Bild:
http://upload.wikimedia.org/math/e/d/2/ed2f5191dc04c5d330bfd5131f3f6701.png

______________________

So, das war es erst einmal wieder. Hoffe, dass meine recherschen richtig waren. O.o
Wenn nicht, einfach sagen => böse


MFG Majin_Clodan
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Divergenz einer Reihe
Zitat:
Original von Majin_Clodan
Eine Reihe sei konvergent, wenn die Reihe endlich sei. Sie besitze also einen Grenzwert.

Warum verwendest du den Konjunktiv? verwirrt

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Das Besondere hierbei wäre, dass die Reihe gegen plus und minus unendlich streben würde.

Abgesehen vom Konjunktiv: die Reihe strebt in diesem Fall gegen plus oder minus unendlich.

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Dies würde bei einer alternierenden Reihe der Fall sein.

Möglich, aber nicht zwingend.

Zitat:
Original von Majin_Clodan
wobei eine nur divergente Reihe sich z.B. in einem Kreis befindet

Hää? verwirrt

Zitat:
Original von Majin_Clodan
wobei die Folgeglieder sagen wir mal nur im Intervall von 3 bis 10 sind(dummes beispiel, aber kann es nicht anders erklären).

Die Folgenglieder können sogar gegen Null konvergieren, siehe harmonische Reihe.

Zitat:
Original von Majin_Clodan
5) Absolute Konvergenz:
Hierbei konnte ich noch nicht so viel erfahren, aber so wie es bisher aussah, konvergiere hierbei eine Reihe gegen einen positiven UND(?) negativen Wert. Es wäre also wieder bei der alternierenden Reihe der Fall.

Ich denke, das hast du falsch recherchiert: eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge der Folgenglieder konvergiert.
Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »

THX klarsoweit.

Ist aber nun dein erstes Kommentar zu meiner Aussage richtig oder falsch? O.O Sorry, aber im Deutschunterricht war ich nie der beste bezüglich des Wortes "Konjunktiv". smile

Zitat:
Das Besondere hierbei wäre, dass die Reihe gegen plus und minus unendlich streben würde

Damit meinte ich jetzt nichts mathematisches. Ich meinte hierbei, dass z.B. die Werte der Folgegliedern folgendermaßen aussehen:
S = {1 , 3 , 8 , 7 , 1 , 3 , 8 , 7 , 1 , 3 , ...}


Zitat:
Ich denke, das hast du falsch recherchiert: eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge der Folgenglieder konvergiert


O.O Wie meinst du das jetzt? Hast du vielleicht ein beispiel zum Erläutern? Kann leider gar nichts damit anfangen. O.o


MFG Majin_Clodan
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Ist aber nun dein erstes Kommentar zu meiner Aussage richtig oder falsch? O.O Sorry, aber im Deutschunterricht war ich nie der beste bezüglich des Wortes "Konjunktiv". smile

Es sollte lauten:
Eine Reihe ist konvergent, wenn der Wert der Reihe endlich ist . Sie besitzt also einen Grenzwert.

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Zitat:
Das Besondere hierbei wäre, dass die Reihe gegen plus und minus unendlich streben würde

Damit meinte ich jetzt nichts mathematisches. Ich meinte hierbei, dass z.B. die Werte der Folgegliedern folgendermaßen aussehen:
S = {1 , 3 , 8 , 7 , 1 , 3 , 8 , 7 , 1 , 3 , ...}

Mir ist noch immer nicht klar, was du sagen willst. Jedenfalls ist eine Reihe bestimmt divergent, wenn sie gegen plus oder minus unendlich (aber nicht beides gleichzeitig) geht.

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Zitat:
Ich denke, das hast du falsch recherchiert: eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge der Folgenglieder konvergiert


O.O Wie meinst du das jetzt? Hast du vielleicht ein beispiel zum Erläutern? Kann leider gar nichts damit anfangen. O.o

Da wir Mathematik betreiben, ist es praktischer, das eine oder andere mit Formeln, statt mit Worten zu beschreiben. Augenzwinkern

Also: eine Reihe heißt absolut konvergent genau dann, wenn konvergiert.
Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde es bei der absoluten Konvergenz folgendermaßen aussehen:

Es existieren 2 verschiedene Fälle:

1)


2)


Müsste ich also, sagen wir mal, die Partialsumme bestimmen, müsste ich das einmal für plus und minus Ak d.h. es existiert für die Partialsumme einmal ein Wert von +Ak und -Ak.

Ahso und wegen Konjunktiv:
Ich rede des öfteren so. Ich weiß leider nicht warum.^^' Hat sich bei mir so eingebürgert. Hängt wahrscheinlich damit zusammen, dass ich eh viel schreibe und ich es persönlich in einer schönen und netten Form niedergeschrieben haben will. smile


MFG Majin_Clodan
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin_Clodan
Müsste ich also, sagen wir mal, die Partialsumme bestimmen, müsste ich das einmal für plus und minus Ak d.h. es existiert für die Partialsumme einmal ein Wert von +Ak und -Ak.

unglücklich Das mit der absoluten Konvergenz hast du noch nicht verstanden. Ich zeige das mal an einem Beispiel:

Die Reihe S_n := konvergiert, aber nicht die Reihe . Also ist die Reihe S_k nicht absolut konvergent.

Und was den Konjunktiv angeht: in der Mathematik formuliert man unumstößlich feststehende Aussagen nicht im Konjunktiv. Das verwirrt nur den Leser und einen Schönheitspreis gewinnt man damit auch nicht. smile
 
 
Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein bisschen verständlicher ist das schon. smile
Aber ich denke, wir belassen es erstmal dabei. Mein Studium beginnt ja erst in 2-3 Monaten und da denke ich mal, werde ich verstärkter in die Materie eingehen, denn es scheint ja ein bisschen komplizierter sein, als ich denke.^^ Mein Professor wird mir schon sagen, in welchen Büchern ich mich informieren kann. smile

Trotzdem THX @ klarsoweit. War mir eine große Hilfe. smile


MFG Majin_Clodan
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »