Taylorreihe herleiten

22.04.2006, 16:57

clos

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Taylorreihe herleiten

Wink

Folgende Aufgabe:

Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{^3\sqrt{2x+1}} = (2x+1)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{1}{3}(2x+1)^{-\frac{4}{3}} 2 = -\frac{2}{3}(2x+1)^{-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{16}{9}(2x+1)^{-\frac{7}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{224}{27}(2x+1)^{-\frac{10}{3}} \end{eqnarray*}$

Wie bekomm ich denn jetzt eine Bildungsvorschrift hin ?

MfG

22.04.2006, 16:59

Mathespezialschüler

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Verschoben

22.04.2006, 17:00

Calvin

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Fasse mal die Faktoren vor der Klammer nicht zusammen und setze $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ein. Dann wird es ein bißchen klarer.

22.04.2006, 17:39

clos

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hm dann erkenn ich auch nix... wenn ich x0 einsetzte und dann ausrechne ergibt sich folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{\frac{2}{3}}{1!}x + \frac{\frac{16}{9}}{2!}x^2 - \frac{\frac{224}{27}}{3!} x^3 +-... \end{eqnarray*}$

aber ich kann da nix draus machen irgendwie

22.04.2006, 18:31

Calvin

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Damit ist es IMHO auch schlecht zu sehen. Ich habe zwar auch noch keine geschlossene Form, aber ich würde es noch weiter aufteilen:

$\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{1}{3^0}\cdot 2^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=-\frac{1}{3}\cdot 2^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot 2^2=\frac{1\cdot 4}{3^2}\cdot 2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{7}{3}\cdot 2^3=-\frac{1\cdot 4\cdot 7}{3^3}\cdot 2^3 \end{eqnarray*}$

Es fehlt eigentlich "nur" noch eine geschlossene Form für den Zähler, also $\begin{eqnarray*} \prod_{i=0}^n(3i+1) \end{eqnarray*}$ . Da bin ich aber im Moment auch überfragt verwirrt

verwirrt

22.04.2006, 18:36

clos

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also in der Lösung steht wohl irgend wie ne matrix... oben -1/3, unten k. und dann noch (2x)^k

Kannst du dir darunter was vorstellen ?

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22.04.2006, 18:38

Calvin

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Hä? Nein, darunter kann ich mir überhaupt nichts vorstellen verwirrt

verwirrt

22.04.2006, 19:21

clos

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Falls du Lust hasst kannst du es dir ja mal anschauen:

Aufgabe 1 c

Aufgaben
Lösungen

22.04.2006, 20:01

Calvin

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Das, was wie eine Matrix aussieht, ist der Binomialkoeffizient. Es ist $\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt erinnere ich mich auch wieder daran, dass folgende Taylorreihe gilt: $\begin{eqnarray*} (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} {\alpha \choose n} x^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das 2^k kommt von dem Faktor 2, der bei jeder Ableitung noch dazu kommt.

22.04.2006, 21:36

clos

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Irgendwie versteh ich die Definition nicht

bei k=0 würde das ja bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-1)}{0!}=0 \end{eqnarray*}$

bei k=1:
$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-1)}{0} \cdot \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-2)}{1} \cdot 2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

und bei $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht wieso noch das x da reinkommt, weil wir für x=0 einsetzen müsste das doch dann automatisch immer rausfallen oder ?

22.04.2006, 23:36

Abakus

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Zitat:

Original von clos
Irgendwie versteh ich die Definition nicht

bei k=0 würde das ja bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-1)}{0!}=0 \end{eqnarray*}$

Die Definition ist wegen den Pünktchen "..." keine echte, weil die Punkte nur andeuten, was an ihrer Stelle stehen soll. Hier ist gemeint, dass im Zähler und Nenner die gleiche Anzahl von Faktoren stehen soll. Bei k=0 steht im Zähler das leere Produkt (welches als 1 definiert ist), und im Nenner steht 0! (=1). Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \binom{\alpha}{0} := 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

bei k=1:
$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-1)}{0} \cdot \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-2)}{1} \cdot 2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Genauso wie oben: bei k=1 steht im Zähler und Nenner jeweils genau ein Faktor. Demnach ist:

$\begin{eqnarray*} \binom{\alpha}{1} = \frac{\alpha}{1} = \alpha \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

und bei $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht wieso noch das x da reinkommt, weil wir für x=0 einsetzen müsste das doch dann automatisch immer rausfallen oder ?

Hier habe ich Probleme zuzuordnen, woher deine Formel kommt. Vermutlich meinst du die Aufgaben 2a) und 2b) ? Wenn dein Entwicklungspunkt der Reihe $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, fällt das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in der Taylorformel weg, korrekt. Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bleibt aber weiterhin in der Reihe.

Grüße Abakus smile

smile

23.04.2006, 13:49

clos

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

und bei $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht wieso noch das x da reinkommt, weil wir für x=0 einsetzen müsste das doch dann automatisch immer rausfallen oder ?

Hier habe ich Probleme zuzuordnen, woher deine Formel kommt. Vermutlich meinst du die Aufgaben 2a) und 2b) ? smile

smile

Hier meine ich Aufgabe 1c :

Aufgaben
Lösungen

Da steht das in der Lösung drin.

23.04.2006, 14:13

clos

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hm...

bei k = 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}-1)}{1\cdot 2} \end{eqnarray*}$

k = 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{1}{3}-1)\cdot (-\frac{1}{3}-2)}{1\cdot 2 \cdot 3} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist im Zähler der letzte Faktor nicht $\begin{eqnarray*} n-k+1 \end{eqnarray*}$ ...

Was mach ich denn noch falsch ?

Die Ergebnisse stimmen nicht...

24.04.2006, 02:17

Abakus

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Erstmal eine Skizze:

Ich komme auf folgendes Ergebnis bei 1c):

$\begin{eqnarray*} f_T(x) = 1 - \frac{3}{2}*x + \frac{8}{9}*x^2 - \frac{112}{81}*x^3 + ... \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung auf dem Lösungszettel ist falsch. Deine Rechnung für die beiden Binomialkoeffizienten ist ok; du musst zusätzlich noch die 2er-Potenz beachten, um auf die richtigen Koeffizienten zu kommen.

Grüße Abakus smile

smile

EDIT: Ja, hier Tippfehler, der Koeffizient des linearen Terms ist -2/3; -3/2 ist nicht korrekt.

24.04.2006, 16:51

clos

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Wink

Ich komm auf:

$\begin{eqnarray*} f_T(x) = 1 - \frac{2}{3}*x + \frac{8}{9}*x^2 - \frac{112}{81}*x^3 + ... \end{eqnarray*}$

Vielleicht hasst du dich an der einen Stelle vertippt.

Könnte man nich daraus jetzt folgende Bildungsvorschrift machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~{\frac{\frac{\prod_{i=0}^k(3i+1)}{3^k}\cdot 2^k}{k!}} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Kannst du mir bitte noch verraten wie dieses $\begin{eqnarray*} \prod_{} \end{eqnarray*}$ Zeichen genannt wird.

Kann mir zwar jetzt schon denken wie es funktioniert, wollte aber nochmal eine Definition angucken.

24.04.2006, 17:07

Calvin

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Zitat:

Original von clos
Kannst du mir bitte noch verraten wie dieses $\begin{eqnarray*} \prod_{} \end{eqnarray*}$ Zeichen genannt wird.

Das ist das Produktzeichen. Analog zu $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 i=1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ gibt es ein Produkt an, z.B. $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^4 i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \end{eqnarray*}$

24.04.2006, 19:53

Abakus

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Zitat:

Original von clos
Wink

Wink

Ich komm auf:

$\begin{eqnarray*} f_T(x) = 1 - \frac{2}{3}*x + \frac{8}{9}*x^2 - \frac{112}{81}*x^3 + ... \end{eqnarray*}$

Vielleicht hasst du dich an der einen Stelle vertippt.

Ja, stimmt. Ich habe es als Bemerkung unter EDIT in dem Beitrag hinzugefügt.

Zitat:

Könnte man nich daraus jetzt folgende Bildungsvorschrift machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~{\frac{\frac{\prod_{i=0}^k(3i+1)}{3^k}\cdot 2^k}{k!}} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Ich würde noch zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{3} *2 * x + \frac{1*4}{3*6} * 2^2 * x^2 - \frac{1*4*7}{3*6*9} * 2^3 * x^3 +~ ... \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

smile

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