eigenraum

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easyone Auf diesen Beitrag antworten »
eigenraum
hallo ich habe hier ein kleines problem bei dem ich nicht weiter komme.

ich möchte den eigenraum berechnen und habe dazu die eigenwerte.
nach einsetzen in die matrix habe ich:



als erweiterung der matrix dann 0, 0, 0

im skript steht jetzt aber im nächsten schritt das in der erweiterte koeffizientenmatrix 0,0,0 auf 0,a,b geändert wird.

ich verstehe nicht wieso? und in anderen Beispielen ist es, so dass nicht 0,a,b sondern z.b 0,0,a verwendet wird.
und wenn ich dann den gauß berechnen möchte, wie gehe ich dann mit diesen buchstaben um?

kann mir da jemand weiterhelfen, biin etwas ratlos
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenraum
Ich verstehe den kompletten Text hinter der Matrix nicht. Zur Bestimmung des Eigenraums mußt du doch nur den Kern von obiger Matrix bestimmen. Und das ist äußerst simpel.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und in anderen Beispielen ist es, so dass nicht 0,a,b sondern z.b 0,0,a verwendet wird.


In ersten Fall gibt man die Lösung in Abhängigkeit von ZWEI Variablen an, im zweiten Fall von genau EINER. Da in deinem Beispiel zwei Nullzeilen entstehen werden und die verbleibende Zeile auch keine nullen mehr auf der linken Seite enthält, muss man die Lösung automatisch durch zwei Variablen ausdrücken.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn ich dann die gaußgleichung aufstelle, welche werte gebe ich denn dann für a und b ein bzw was schreibe ich für a und b wenn ich den span berechne?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig doch mal, was du rechnest. So ist das doch alles sehr diffus.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

z.b habe ich diese matrix:



dann steht nach umformen und so diese matrix hier:



und dahinter als erweiterung praktisch (-a-b, a, b)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von easyone
dann steht nach umformen und so diese matrix hier:



unglücklich Da fragt man sich, wie du umgeformt hast. verwirrt

Zitat:
Original von easyone
und dahinter als erweiterung praktisch (-a-b, a, b)

Und was du damit willst, ist mir immer noch nicht klar.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab es selber auch nicht gerechnet,das wurde in der übung so gemacht. als ergebnis kommt für den span und raus.

kann mir denn jemand sagen wie ich es alternativ machen könnte?oder wie die rechnung aussehen müsste?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du müßtest erstmal ordentlich (und vor allem fehlerfrei) das Gauß-Verfahren anwenden.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du die matrix in die hnf oder dreiecksmatrix bringen und dann als homogenes gleichungssystem lösen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du mußt mit Gauß-Verfahren in eine Dreiecksmatrix (bessere Bezeichnung ist Zeilenstufenform) bringen.

Nebenbei wäre es auch nett, wenn du mal die ursprüngliche Matrix samt der Eigenwerte posten würdest.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

die ursprüngliche matrix ist diese



als eigenwerte habe ich 6,12,12
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann kommen wir wieder darauf, daß du den Kern der Matrix benötigst.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

wie mache ich das genau, ich hab jetzt versucht die dreiecksmatrix aufzustellen und bekomme am ende aber raus
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage irritiert mich. Also du weißt schon, wie man ein homogenes GLS löst? Daß man dazu das Gauß-Verfahren nimmt und wie dieses funktioniert? Daß man mittels geeigneter Zeilenumformungen die Matrix auf eine Zeilenstufenform bringt? Was bekommst du denn am Ende für eine Matrix raus?
easyone Auf diesen Beitrag antworten »



ich hab einfach die 1. zeile mit -1 multipliziert und jeweils zur 2. und 3. zeile addiert.
dann ein homogenes gleichungssytem aufgestellt und dann hab ich x2 und x3 beliebig als 1 festeglegt und damit dann x1 berechnet
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von easyone
und dann hab ich x2 und x3 beliebig als 1 festeglegt und damit dann x1 berechnet

Da liegt der Fehler. Bei zwei freien Variablen setzt du einmal die erste variable gleich 1 und die andere gleich Null und umgekehrt und bestimmst jeweils das zugehörige x1. Das ergibt 2 linear unabhängige Lösungen, die eine Basis des Lösungsraums (= Eigenraum) bilden.
easyone Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt klappts smile ...danke für die hilfe.
eine frage hätte ich aber noch, wie würde ich beliebige werte bei einer 4x4-matrix festlegen?jeweils einen wert 1 und die anderen 0?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich formuliere die Frage etwas allgemeiner:

Wie bestimmt man bei einem LGS die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null.
Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.
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