Lemma von Bézout

14.07.2008, 23:27	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Bézout Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring und für $\begin{eqnarray} a,b\in R \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} ggT(a,b) = 1 \end{eqnarray}$ . Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray} (a)+(b) = R \end{eqnarray}$ ist? Ich habe nur Beweise gefunden, die den euklidischen Algorithmus benutzen, welcher aber nur in euklidischen Ringen anwendbar ist
14.07.2008, 23:45	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} d\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a)+(b)=(d) \end{eqnarray}$ . Es gilt also $\begin{eqnarray} a,b\in (d) \end{eqnarray}$ , insbesondere $\begin{eqnarray} d\|a, d\|b \end{eqnarray}$ . Andererseits gilt $\begin{eqnarray} d\in(a)+(b) \end{eqnarray}$ , d.h. es gibt eine Darstellung $\begin{eqnarray} d=r_1a+r_2b \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray} d=ggT(a,b) \end{eqnarray}$ .
15.07.2008, 10:04	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaahhh. Ok das ist nicht so schwer. Eigentlich reicht ja auch schon die Existenz von d um $\begin{eqnarray} d\|a,d\|b \Rightarrow d\|ggT(a,b) \Rightarrow d\|1 \Rightarrow d = 1 \end{eqnarray}$ zu schließen.

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