Analyt. Geom., Liegen Punkte auf einer Geraden?

14.07.2008, 23:59

Dalice66

Analyt. Geom., Liegen Punkte auf einer Geraden?

Hallo Leute,
ich soll folgende Aufgabe lösen und nun möchte ich mal wissen, ob mein Ansatz richtig ist. Die Frage lautet:
Liegen die drei Punkte P(3|4|0), Q(1|1|1) und R(-7|5|11) auf einer Geraden?

Mein Ansatz sind nun die Zweipunktgleichungen

1) $\begin{eqnarray*} g(P;Q):\overrightarrow{0X}=\overrightarrow{0P}+\lambda\overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} g(Q;R):\overrightarrow{0X}=\overrightarrow{0Q}+\lambda\overrightarrow{QR} \end{eqnarray*}$

Bei beiden muss die Steigung ja gleich sein, nur, wie mache ich nun weiter?

15.07.2008, 04:06

Zellerli

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Wieso überprüfst du nicht einfach ob der Punkt R auf deiner Gerade PQ liegt?

Dafür muss nur eine einfache Bedinung erfüllt sein...

15.07.2008, 13:13

Dalice66

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Hi,
ich habe keine Ahnung, wie ich da herangehen soll. Ich habe es mit den Einheitsvektoren von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ versucht, weil, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen, die Einheitsvektoren doch gleich sein müssen.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{0Q}-\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einheitsvektor= $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0\frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|} \end{eqnarray*}$

Nach dem Ausrechnen kam ich für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ auf verschiedene Ergebnisse. Also gehe ich davon aus, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen...

15.07.2008, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Hi,
ich habe keine Ahnung, wie ich da herangehen soll.

Du kannst doch einfach mit einem Gleichungssystem prüfen, ob der Punkt R auf der Geraden g(P;Q) liegt.

Zitat:

Original von Dalice66
Ich habe es mit den Einheitsvektoren von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ versucht, weil, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen, die Einheitsvektoren doch gleich sein müssen.

Nicht ganz. Sie können auch entgegengesetzt liegen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dalice66
Nach dem Ausrechnen kam ich für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ auf verschiedene Ergebnisse. Also gehe ich davon aus, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen...

Wie gesagt: es könnte auch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 = -1 \cdot \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ sein.

15.07.2008, 13:55

Dalice66

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Hi klarsoweit,
mit dem Vorzeichen hast du natürlich Recht, aber unabhängig vom Vorzeichen erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ andere Zahlen als bei $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 \end{eqnarray*}$ . Unabhängig vom Vorzeichen müssten doch zumindest die Zahlen gleich sein... verwirrt

.

An das LGS versuche ich mich gleich mal geschockt

15.07.2008, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Unabhängig vom Vorzeichen müssten doch zumindest die Zahlen gleich sein... verwirrt

Genauer gesagt: da weder $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 = \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}^0 = -1 \cdot \overrightarrow{QR}^0 \end{eqnarray*}$ ist, liegen die 3 Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden.

15.07.2008, 14:03

Dalice66

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Hurra...

15.07.2008, 14:20

Dalice66

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Hier mein LGS,
"k" soll bei mir die Steigung sein...

$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 3k \\ 4k \\ 0 \end{pmatrix} ^2=\begin{pmatrix} 9k \\ 16k \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1k \\ 1k \\ 1k \end{pmatrix} ^2=\begin{pmatrix} 1k \\ 1k \\ 1k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} -7 \\ 5\\ -11 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} -7k \\ 5k \\ -11k \end{pmatrix} ^2=\begin{pmatrix} 49k \\ 25k \\ 121k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9k \\ 16k \\ 0 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 1k \\ 1k \\ 1k \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 49k \\ 25k \\ 121k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

15.07.2008, 14:31

klarsoweit

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RE: Analyt. Geom., Liegen Punkte auf einer Geraden?
Hää? Was soll diese Rechnung? verwirrt

Die zeigt doch gar nichts.

Wenn der Punkt R auf der Geraden g(P;Q) liegen soll, dann muß es ein lambda_R geben, so daß gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{0R} = \overrightarrow{0P} + \lambda_R \cdot \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte führt zu einem GLS.

15.07.2008, 14:40

Airblader

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Besonders toll ist ja die "Regel":

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}a_1^2\\a_2^2\\a_3^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} k \cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}k\cdot a_1^2\\k\cdot a_2^2\\k\cdot a_3^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Richtig wären:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} k \cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\sqrt{k}\cdot a_1\\\sqrt{k}\cdot a_2\\\sqrt{k}\cdot a_3\end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$ .

15.07.2008, 17:02

Dalice66

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Ist halt so,
wenn man keine Ahnung hat, dann wendet man sich ans Forum....

15.07.2008, 17:13

riwe

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Zitat:

Original von Dalice66
Ist halt so,
wenn man keine Ahnung hat, dann wendet man sich ans Forum....

naja du warst ja nahe dran, und dann hast halt alles ein bißerl durcheinander gebracht.

zu zeigen ist, wenn P, Q und R auf einer geraden liegen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR} \end{eqnarray*}$

16.07.2008, 12:42

Dalice66

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Ok,
die Formel $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR} \end{eqnarray*}$ leuchtet mir natürlich ein. Eine Gerade hat keinen Knick oder Ähnliches, also muss, wenn die Formel stimmen soll, k=1 sein, oder?

16.07.2008, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
also muss, wenn die Formel stimmen soll, k=1 sein, oder?

Da die Vektoren nicht normiert sind, reicht es, wenn es ein beliebiges von Null verschiedenes k gibt, so daß damit die Gleichung erfüllt wird.

Bei normierten Vektoren müßte k = 1 oder (ich erwähnte es mehrfach) k = -1 sein.

16.07.2008, 14:37

Dalice66

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Joo,
jetzt habe ich es..., danke

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