Beweis mit Mengen |
| 22.04.2006, 19:05 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis mit Mengen hab ne Frage zur folgenden Aufgabe: Sie M eine beliebige, möglicherweise unendliche Menge. Zeige, dass es keine Surjektion M->Pot(M) geben kann. (Hinweis: Nehme an, doch. Wähle x aus M so, dass . Leite Widerspruch ab.) OK, also anschaulich ist es klar, denn allg. gilt wenn |M| = n dann |Pot(M)| = 2^n Und n < 2^n ==> Da ich n Elementen nicht mehr als n eindeutig zuordnen kann, kann es auch keine surjektive Abbildung f geben. Allerdings soll das jetzt mit einem Beweis durch Widerspruch gezeigt werden und ich verstehe nicht ganz wie. |
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| 22.04.2006, 19:15 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis mit Mengen
Deine Argumentation funktioniert halt nur für endliche Mengen... und darum muss man mit einem Widerspruch argumentieren. Gruß Anirahtak |
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| 22.04.2006, 19:28 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, da hast du natürlich recht, meine Überlegung funktioniert nur für endliche Mengen, da man die Formel 2^n ja nur bei gegebenen n benutzen darf. Aber wie gesagt, Formel hin oder her, die Potenzmenge ist immer mächtiger als die Menge selbst, aber wie kann ich den Hinweis nutzen um das formal zu zeigen. Der Hinweis sagt mir ja, nimm dir ein x mit f(x) und dann kommt f(x) =... Also x wird quasi auf ein m in M abgebildet aber so dass m nicht in f(m) ist. Weil aber im prinzip x und m alles das selbe ist heißt der Hinweis finde ein x in f(x) und gleichzeitig f nicht in f(x) wodurch wir die Annahme widerlegen können. Aber irgendwie kann ich mir diesen Ansatz einfach nicht klar machen. Also wie genau das gehen soll. |
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| 22.04.2006, 19:34 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis mit Mengen Hallo Friedrich, wir betrachten die Menge Und wegen der Surjektivität von f gibt es ein x mit f(x)=N Das x wird nicht auf ein Element m abgebildet, sondern auf die ganze Menge N. Jetzt überlege dir: liegt x in N oder liegt x nicht in N. Gruß Anirahtak |
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| 22.04.2006, 19:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
diese Aussage ist zwar richtig und das zeigst du mit deinem Beweis, leider ist sie hier hingeworfen und ohne die Begründung (die du mit dem Beweis erst bringst) ungenügend. Nur weil das anschaulich klar sein mag, muss es eben bei unendlichen Mengen nicht gelten, viele Dinge sind "anschaulich" klar und doch nicht wahr, wenn man ins unendliche geht. Also tu dir selbst den Gefallen, "es ist einfach so" gibt's hier nicht. |
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| 22.04.2006, 19:44 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@LOED Du verstehst mich falsch, es geht mir nicht darum, dass ich meine "Plausibelmachung" als Beweis vorbringen will, sondern, dass ich den Tipp in der Aufgabenstellung nicht kapiere!! |
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| 22.04.2006, 19:51 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis mit Mengen
Mir leuchtet nicht ganz ein, wie es ein m geben kann, das in M liegt, aber nicht in f(m) also nicht in der Potenzmenge ---- ich tippe heute irgendwie zu schnell 
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| 22.04.2006, 19:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist doch nicht die Potenzmenge, wie kommst du denn darauf??? Es ist , d.h., jedes wird auf eine Element der Potenzmenge abgebildet. Mit anderen Worten: f(m) ist eine Teilmenge von . Konzentrier dich mal bitte! |
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| 22.04.2006, 20:26 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis mit Mengen @Arthur Ja ich war etwas verwirrt und hab aus den Augen verloren, dass die Potenzmenge eine Menge von Mengen ist, nämlich Teilmengen von M... OK.
Über x ist nichts in der Bedingung gesagt, also kann ich sagen x liegt nicht in N genauso wie es Elemente m gibt die nicht in f(m) liegen. Andererseits könnte x auch genausogut in der Teilmenge f(x) liegen. Das kann ich nicht genau wissen, oder? |
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| 22.04.2006, 20:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es gilt f(x)=N. N hat alle (und nur die) Elemente, die nicht in ihrer Bildmenge liegen. Fall 1: x liegt nicht in N, nach Definition von N liegt es dann drin Fall 2: x liegt..... klar machen! |
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| 22.04.2006, 20:44 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha! Der Widerspruch ist 1.) x liegt nicht in N, denn in N liegen alle die Elemente die nicht in ihrem Bild sind, aber die Menge N ist ja das Bild von x 2.) dann muss es aber doch drin liegen, weil es ja in 1.) nicht im seinem Bild liegt und von daher kommt die Lösung: |
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| 22.04.2006, 20:48 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
deine Ausführungen 1/2 finde ich komisch, aber du hast es wohl richtig erkannt. Das geht natürlich nicht, daraus folgt also, dass dieses N niemals im Bild liegen kann, insbesondere ist deine Abbildung nie surjektiv. |
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| 22.04.2006, 20:59 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ich meine ist: die Bedingung schließt x aus N aus, denn sonst wäre ja x in M und x in f(x) = N aber da wir N als Menge derjenigen Elemente definiert haben, die nicht in ihrer Bildmenge liegen und das tut das x ja - es liegt nicht drin - gehört es eigentlich doch da rein. edit: Natürlich folgt daraus, was du gesagt hast, nämlich dass N nicht im Bild liegt oder mit anderen Worten N hat kein Urbild. Das heißt, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, aber das ist ja nicht mehr das große Problem an der Aufgabe ^^ Aber mal ganz ehrlich. Ich hab mir ja schon den Kopf verrenkt um den Hinweis zu kapieren und dass nachdem mir 3 Leute dabei geholfen haben! Wie kommt ein Mensch auf die Idee überhaupt den Beweis so zu führen? Wahnsinn! |
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| 22.04.2006, 21:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was ist denn nun schon wieder M? 
interessante Frage....... aber darauf wirst du keine sinnvolle Antwort bekommen können. 
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| 22.04.2006, 21:23 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Allerdings gibt es da etwas, was mich an diesem Hinweis stört: Um überhaupt auf zu kommen muss man ja bereits annehmen, dass es diese Menge N überhaupt gibt. Und die kann es ja nur geben, weil die Potenzmenge mächtiger ist, sodass man die Zahlen 1...n aus M auf solche Teilmengen abbilden kann die gerade jeweils eine Zahl 1...n nicht enthalten. Dann nimmt man eine Teilmenge, die alle diese Zahlen enthalten soll und sieht, ach mir sind meine 1...n Elemente ausgegangen, die ich auf eine Teilmenge abbilden kann und wenn ich das doch versuche, scheitere ich an einem Widerspruch. Wenn wir aber schon angenommen haben, dass Pot mächtiger ist dann kann es per Definition keine Surjektivität geben. |
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| 22.04.2006, 21:25 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie was ist M. Die Menge aus der alle meine Elemente, darunter auch x, kommen?! |
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| 22.04.2006, 21:29 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann verstehe ich den Hinweis nicht, x wird ja schon aus M egwählt (woher denn sonst!?)
die gibt es sicher; für jedes x aus M schaust du; liegt x in f(x) oder nicht? liegt x drin, ignoriere es, liegt es nicht drin, kommt es in N. Du weißt vorher nicht, ob diese Menge nicht leer ist....., das könnte natürlich sein. |
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| 23.04.2006, 23:23 | Friedrich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
na, ich hab die betonung nicht auf das x in M legen wollen, sondern auf das "und" ->denn sonst wäre ja x in M und x in f(x) = N
OK, dann formuliere ich um: Um überhaupt auf zu kommen muss man ja bereits annehmen, dass diese Menge N nicht leer ist. Und die ist ja nur deshalb nicht leer, weil ......... |
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| 23.04.2006, 23:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt nicht, von vornherein weiß man da gar nix über N. Wenn man etwas nachdenkt, weiß man natürlich, dass dieses N für ein surjektives f nicht leer sein kann, weil ja jedess Urbild der leeren Menge (in P(M)) auf jeden Fall in N liegen muss. In einer nichtsurjektiven Abbildung kann N sehr wohl leer sein! (*) Aber das ist wie schon gesagt egal, selbst sei N leer, dann wäre N auch in P(M) [leere Menge ist doch Teilmenge einer jeden Menge] und auch dann muss f(x)=N für ein x...... (*) Nimm die (nichtsurjektive) Abbildung g: M -> P(M), x -> {x} für g gilt: diese definierte Menge N ist leer! |
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