Test um Erwartungswert

22.04.2006, 23:16

aRo

Test um Erwartungswert

Hallo!

Zur Überprüfung der Nullhypothese "Der elektronische Würfel hat den Augenzahlerwartungswert 13/6" macht man eine Stichprobe im Umfang 6000 elektronischen Würfen mit folgenden Ergebnis:

Augenzahl -> Häufigkeit
1 -> 2060
2 -> 1008
3 -> 2932

Kann danach H0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% verworfen werden?

also $\begin{eqnarray*} \bar{x} \approx 2.145 \end{eqnarray*}$

so, und jetzt fängt nämlich die Schwierigkeit an, ich kann ja die Varianz ausrechnen mit ungefähr $\begin{eqnarray*} 0.811 \end{eqnarray*}$ . Ich würde jetzt vermuten, dass ist $\begin{eqnarray*} V(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ , oder ist es einfach nur $\begin{eqnarray*} V(x) \end{eqnarray*}$ ??

Weil später rechnet mein Lehrer $\begin{eqnarray*} \sigma ( \bar{x} ) = \frac{0.9}{\sqrt{6000}} \end{eqnarray*}$

ich hätte gedacht die 0.9 sind schon sigma(xquer). Ach, irgendwie bin ich da grad schön durcheinander.

Ich hoffe jmd. kann das Problem zusammen mit mir aus der Welt schaffen! smile

aRo

23.04.2006, 10:52

Anirahtak

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RE: Test um Erwartungswert
Hallo aRo,

Du hast also die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots X_{6000} \end{eqnarray*}$ , die alle unabhängig und identisch verteilt sind. Wegen der Größe des Stichprobenumfangs ist die genau Verteilung egal.

Zum Prüfen der Hypothese µ_0=13/6 bietet sich der t-Test an, bei dem die Prüfgröße folgendermaßen ausschaut:

$\begin{eqnarray*} T=\frac{\bar {X}-\mu_0}{S}\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss du nur die Wert angschauen un die Hypothese verwerfen, wenn
$\begin{eqnarray*} |T|>z_{1-0,025} \end{eqnarray*}$

Wegen der Größe des Stichprobenumfangs kann statt mit dem Quantil der t-Verteilung mit dem der Standardnormalverteilung gerechnet werden.

Das S ist ein Schätzer für die Varianz von $\begin{eqnarray*} \bar X \end{eqnarray*}$ , der sich folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} S^2=(n-1)^{-1}\sum_{i=1}^{6000} (X_i-\bar{X})^2 \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass das das Gleiche ist wie dass, was die mit V(x) bezeichnest. (Wenn ich das berechne erhalte ich auch ungefähr 0,811).

Das ist "nur" die Varianz von X.

Für die Varianz von $\begin{eqnarray*} \bar X \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} Var(\bar X)=\frac 1 {n^2}\sum_{i=1}^nVar(X_i)=\frac 1 n Var(X) \end{eqnarray*}$

Wenn du die gleiche Formel für die geschätzte Varianz verwendest, kommst du auf das gleiche Ergebnis wie dein Lehrer.

Ich hoffe, ich konnte das verständlich erklären.

Gruß
Anirahtak

23.04.2006, 11:02

aRo

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dann ist das, was ich da ausrechne im Prinzip echt $\begin{eqnarray*} \sigma (x) = 0.9 \end{eqnarray*}$

Und ich dachte immer das sei schon $\begin{eqnarray*} \sigma (\bar{x}) \end{eqnarray*}$ . Schließlich ist es doch irgendwie die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} \bar{ x} \end{eqnarray*}$ . Versteh ich nicht ganz, aber gut dass ich es wenigsetns jetzt weiß!

Ich schreib hier gleich mal meinen kompletten Test hin, ob der jetzt so stimmt!

aRo

23.04.2006, 11:11

Anirahtak

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Hallo noch mal,

die Varianz einer Zufallsvariabel ist ja eine Größe, die die Streuung um den Erwartungswert berschreibt.
Weil wir in diesem Fall den Erwartungswert nicht kennen, benutzen wir den Schätzer für den Erwartungswert - nämlich das arithm. Mittel.
Der Schätzer für die Varianz ist also die Streuung um den Schätzer für der Erwartungswert.
Deswegen konnt das $\begin{eqnarray*} \bar X \end{eqnarray*}$ in der Formel vor.

Würden wir den Erwartungswert kennen, könnten wir die Varianz folgerndermaßen annähern:

$\begin{eqnarray*} S^2=\frac 1 n \sum (X_i - \mu)^2 \end{eqnarray*}$

Da kämst du ja auch nicht auf die Idee, dass es sich um die Varianz vom arithm. Mittel handelt ;-)

Gruß
Anirahtak

23.04.2006, 11:23

aRo

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okay, jetzt mal gucken, ob ich das richtig mache smile

ich benutze mal die Buchstaben, mit denen wir das immer machen, damit ich hier durchblicke (ich hoffe ihr dann auch noch) Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \bar {x} = 2.145 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^2 \approx = 0.811 \end{eqnarray*}$ (hier könnte ich dann auch V(x) schreiben?)
$\begin{eqnarray*} s \approx = 0.9 \end{eqnarray*}$ (und hier sigma(x)?)

$\begin{eqnarray*} z = \frac{ \bar{x} - \mu_{ \bar {x}}}{\sigma { \bar{x} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( |z| \leq c ) \geq 0.95 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} c \geq 1.96 \end{eqnarray*}$

Lösung über z:

$\begin{eqnarray*} |\frac{2.145-13/6}{0.9} \cdot \sqrt{6000} |\leq 1.96 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |-1.86| \leq 1.96 \end{eqnarray*}$

--> H0 wird NICHT abgelehnt!

Andere Lösung:
$\begin{eqnarray*} |\frac{2.145-13/6}{0.9} \cdot \sqrt{6000} |\leq 1.96 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} \bar{x} \leq 2.18944 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{x} \geq 2.14389 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} \bar{K}={ \bar{x}| 2.14389 \leq \bar{x}\leq 2.18944 } \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ in Kquer -> H0 NICHT ablehnen!

aRo

23.04.2006, 12:01

Anirahtak

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Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} \bar {x} = 2.145 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^2 \approx = 0.811 \end{eqnarray*}$ (hier könnte ich dann auch V(x) schreiben?)
$\begin{eqnarray*} s \approx = 0.9 \end{eqnarray*}$ (und hier sigma(x)?)

Var und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ benutzt man eigentlich nur die den "wahre" Varianz und Standardabweichung, während s und s^2 die geschätzten Werte bezeichenen. In deinem Fal ist also s und s^2 angemessen.

Ich hab deine Werte jetzt nicht genau nachgerechnet, aber es schaut ganz gut aus. smile

Gruß
Anirahtak

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