Wkts-Funktion falscher Würfel

23.04.2006, 10:59

phi

Wkts-Funktion falscher Würfel

Hallo,

Bei einem Beispiel für die Tschebyschew-Ungleichung versuche ich grade herauszufinden ob die Angabe zur Standard-Abweichung sich auf das tatsächliche Experiment, oder auf ein Experiment mit zwei "guten" Würfeln bezieht.

Zitat:

Beim (20-fachem) Werfen von 2 Würfeln werden folgende Augensummen erzielt:
4x2, 2x3, 1x4, 2x5, 1x6, 2x7, 0x8, 2x9, 2x10, 1x11 und 3-mal die 12.

Der Erwartungswert zweier guter Würfel ist bei diesem Experiment 7, die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma = 2.415, ~ 2 \sigma =4.83 \end{eqnarray*}$ . Außerhalb der $\begin{eqnarray*} 2 \sigma \end{eqnarray*}$ -Umgebung von 7 liegen die Summen 2 und 12. Sie dürfen nur zu höchstens 25% auftreten. In diesem Experiment treten sie aber in 7 von 20 Fällen, also zu 35% auf. Die Würfel könnten also gezinkt sein.

Die Anwendung & Schlussfolgerung der Tscheby´-Ungleichung ist mir klar. Und es gilt $\begin{eqnarray*} \sigma =\sqrt{V(X)} \end{eqnarray*}$ .

Mein Anliegen ist nun die Berechnung der Varianz V(X) nachzuvollziehen.
Den Ergebnissen $\begin{eqnarray*} \omega =2,3,...,11,12 \end{eqnarray*}$ hab ich als Zufallsvariable ihre Häufigkeit x im Experiment zugeordnet.

$\begin{eqnarray*} V(X)=\sum_{i=1}^n~(x_i- \mu)^2 \cdot P(X=x_i) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Frage: Wie rechne ich jetzt P(X=x_i) ? Die Wkt. $\begin{eqnarray*} P( \omega ) \end{eqnarray*}$ der Einzelergebnisse sind klar, aber wie hängen die mit den Wkt. der Ereignisse im Experiment zusammen ?

Dank & Gruß, phi

23.04.2006, 11:05

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Wie nicht anders zu erwarten, war das natürlich schon mehrfach hier, z.B. da:

Zweimaliges Würfeln

23.04.2006, 11:28

phi

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Nach so einem einfachen Titel zu suchen bin ich nicht gekommen. Hab nach Erwartungswert, Tsch-Ungl. etc gesucht... Hammer

Danke

23.04.2006, 12:29

phi

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Der Vollständigkeit halber: Die oben genannte V(X) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier idealen Würfel mit:

x=2 : 1/36
x=3: 1/18
x=4: 3/36
x=5: 1/9
x=6: 5/36
x=7: 1/6
x=8: 5/36
x=9: 1/9
x=10: 3/36
x=11: 1/18
x=12: 1/36

Meine Verwirrung rührte daher, dass ich versuchte eine Verteilungstabelle des Experiments mit den gezinkten Würfeln zu machen, die sich ja irgendwie auf 1/20 und nicht auf 1/36 beziehen müsste.

Und als Zufallsgröße Y hatte ich die Anzahl der Würfe x=i, also z.B. 3 mal x=12 definiert.

Lässt sich so eine Tabelle überhaupt aufstellen? Wäre dann P(Y: 3 mal x=12)=3/20 ?

Edit: Auch diese Frage hat sich erledigt, geht aus dem Beispiel hervor: die Ereignisse x=2 und x=12 treten ja in 7 von 20 Fällen, also zu 35% auf. Und hierbei handelt es sich nicht um eine Wkt. sondern um eine relative Häufigkeit. D.h. h(Y: 3 mal x=12)=3/20
mfg, phi

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