selbstadjungiertheit

23.04.2006, 15:28	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
selbstadjungiertheit hallo ich muss gerade eine arbeit über den spektralsatz verfassen und dabei bin ich wieder auf den begriff selbstadjugniertheit gestoßen. ich merke es tun sich bei mir in der linearen algebra größere lücken auf, dieser ausdruck gehört dazu. ich kenne zwar die definition aber ich kann mir kein blid davon machen, was ist die besonderheit an der selbstadjungiertheit? und falls sich jemand damit auskennt, wo geht das in den spektralsatz ein?
23.04.2006, 20:21	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Endomorphismus f ist selbstadjungiert (auf euklidischen/unitären räumen) wenn $\begin{eqnarray} <f(v),w> = <v,f(w)> \end{eqnarray}$ Soweit kommst Du klar. Ein Endomorphismus ist genau dann selbstadjungiert wenn seine darstellende Matrix symmetrisch(hermitesch) ist. Damit ist jeder selbstadjungierte Endomorphisums orthogonal(unitär) diagonalisierbar. Kannst Du mal den Satz genau formulieren (bei wiki find ich 4 einträge)
24.04.2006, 11:22	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine version ist diese: Sei T: V->V eine selbstadjungierte lineare Transformation in einem eindlich-dimensionalen Raum. Dann gibt es eine Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} {A_1,...,A_n} \end{eqnarray}$ und Zahlen $\begin{eqnarray} \lambda_1,...,\lambda_n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} T(A_i)=\lambda_iA_i, i=1,2,..n \end{eqnarray}$ Die Matrix von T bezüglich dieser Basis ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & ...\\ 0 & \lambda_2 & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ...\\ ... & 0 & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also sichert mir die selbstadjungiertheit hier nur, dass ich eine symmetrische matrix habe, deren char. polynom in REELLE faktoren zerfällt, was ich dann für den beweis brauche. stimmt das?
24.04.2006, 14:22	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sobald das char. Polynom über dem Körper K in linearfaktoren aus diesem Körper zerfällt und die geometrischen Vielfachheiten stimmen ist die Matrix ja diagonalisierbar. Bei einer symmetrischen Matrix über den reellen Zahlen zerfällt das char. Polynom in linearfaktoren über R (das selbe für hermitesche Matrizen über C). Die Frage ist halt ob ihr das schon hattet . Aber wie gesagt die Matrixdarstellung eines selbstadjungierten Endomorphismus ist symmetrisch.
23.05.2006, 00:33	HarryPotter	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Nacht! Aber wie gesagt die Matrixdarstellung eines selbstadjungierten Endomorphismus ist symmetrisch. Heißt das: falls ich einen Endomorphismus f habe und die Matrix von f ist symmetrisch, dann ist f selbstadjungiert. Oder kann ich das nur sagen, wenn ich eine Orthonormalbasis habe bezüglich der die Matrix von f eine symmetrische Gestalt hat? mfg
23.05.2006, 19:59	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst leicht nachrechnen das für jede symmetrische Matrix gilt: $\begin{eqnarray} <Av,w> = <v,Aw> \end{eqnarray}$ Damit beschreibt A einen selbstadjungierten Endomorphismus für $\begin{eqnarray} w,v \in V \end{eqnarray}$
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