Schnittpunkte von Parameterfunktionen |
| 23.04.2006, 16:07 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schnittpunkte von Parameterfunktionen ich hätte hier eine Aufgabe aus meiner letzten Klausur (Mathe LK St. 13), die aus der Wertung genommen wurde, weil sie kaum jemand richtig hatte. Jetzt würde mich aber trotzdem mal interessieren, wie man sie lösen kann. Ich weiß leider noch nicht wie ich Funktionen hier vernünftig schreibe, deswegen improvisiere ich noch ein bisschen. Die Funktion lautete: fm(x)=(m-e^x)^2 Aufgabe war: Welche Bedingungen müssen zwei verschiedene Werte des Parameters m erfüllen, damit sich die zugehörigen Graphen in einem Punkt (x/y) schneiden? Für welche Werte von m schneiden sich die zugehörigen Graphen auf der y-Achse orthogonal? Ich habe standardmäßig angefangen, indem ich die Bedingung auf gestellt habe, dass m1 ungleich m2 sein muss. Dann habe ich die Funktionen gleichgesetzt, jedoch kam nichts vernünftiges raus, zumindest nichts, womit ich die in der Aufgabenstellung geforderten Bedingungen hätte aufstellen können. Für den zweiten Teil der Aufgabe hätte ich nur die Idee dass x=o gesetzt werden muss und die Ableitungen außerdem in folgenden Verhältnis zueinander stehen müssen : f´m1(x)=-1/f´m2(x) Wäre dankbar für ein paar Tipps zu dieser Aufgabe. |
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| 23.04.2006, 16:24 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Schnittpunkte von Parameterfunktionen
Das ist kein Wunder, denn sie ist auch reichlich ungenau gestellt. Was ist als fest geben? Nur die x-Koordinate des Schnittpunkts, nur die y-Koordinate oder ein Koordinatenpaar? (In letzterem Falle gibt es nur in Ausnahmefällen überhaupt zwei solche Parameter.) |
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| 23.04.2006, 16:31 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe den Aufgabentext hier exakt so aufgeschrieben, wie er auf meinem Aufgabenblatt stand. Es sind also allgemein die Bedingungen gesucht damit sich zwei Funktionen mit unterschiedlichem Parameter schneiden. |
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| 23.04.2006, 16:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Deine Überlegungen sind richtig, jetzt fehlt nur noch die Durchführung 
Zunächst ergeben sich beim Gleichsetzen - wegen des Quadrates - 2 Fälle: 1.: hierbei ist , kommt daher nicht in Betracht 2.: hier gibt es eine eindeutige Beziehung (einen eindeutigen Schnittpunkt)! Kannst du dies dann auch nach x bzw. y auflösen? Hinweis: Für die Berechnung von x Exponentialgleichung logarithmieren. Über den zweiten Teil der Aufgabe ist noch eine Nachdenkphase (bezüglich der Lösbarkaeit der entstehenden Gleichung) notwendig ... Gr mYthos Edit: Ich habe die anderen Antworten erst nachher lesen können; bei der Angabe fehlt meines Erachtens nichts, der erste Teil lässt sich auch einfach lösen, sh. o. Enderg. f. d. Schnittpkt: Nur hinsichtlich der zweiten Frage erscheint die Lösung der Gleichung problematisch .. |
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| 23.04.2006, 16:39 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Schnittpunkte von Parameterfunktionen a) (m1-exp(x1))^2=(m2-exp(x1))^2 ... ... x1 = ... m1+m2 .... b) f´m1(x1)=-1/f´m2(x1) ermittelte Schnittstelle x1 von oben benutzen ... ... ... (m1^2 - m2^2)^2 = 4 |
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| 23.04.2006, 16:40 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mYthos es gib sogar noch einen 3. Fall: |
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| 23.04.2006, 16:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@MrPSI Nein! Wenn du genau hinsiehst, ist dein dritter Fall mein zweiter! 
Denn aus meinem 2. ergibt sich doch sofort: |
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| 23.04.2006, 16:45 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Argh...war wieder mal voreilig 
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| 23.04.2006, 16:45 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Auflösung erscheint mir logisch, aber welche Bedingungen müssen jetzt die verschiedenen Parameter m erfüllen? Reicht es, wenn ich sage dass m1+m2>=o sein muss , damit der natürliche Logarithmus definiert ist? |
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| 23.04.2006, 16:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, eben dies: mY+ |
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| 23.04.2006, 16:47 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das reicht, ZUSAMMEN mit m1 <> m2 .
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| 23.04.2006, 16:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber was mach' ma mit der zweiten Frage?? Ich kriege da: |
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| 23.04.2006, 16:49 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Gleichung habe ich ja nach x aufgelöst, um die x-Koordinate zu erhalten. Das Ergebnis ist ja dann, wie von Ihnen auch oben erwähnt: ln(m1+m2)-ln(2) = x Daraus hatte ich geschlossen, dass man auch m1+m2 >= 0 als Bedingung angeben könnte. |
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| 23.04.2006, 16:50 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles Klar |
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| 23.04.2006, 16:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Logarithmieren war ja nur zur Auflösung der Gleichung notwendig. Für die Bedingung des zulässigen Parameters in der Funktion ist dessen Logarithmus aber nicht relevant! Die zweite Frage müssen wir noch lösen ..? |
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| 23.04.2006, 16:53 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Haben Sie bereits berücksichtigt, dass der Schnittpunkt auf der y-Achse liegen soll? Für diesen Fall müsste ja f(0) bestimmt werden... |
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| 23.04.2006, 16:59 | cling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur falls Sie dies noch nicht getan haben, komme ich unter Vorbehalt auf: m1=(2-m2)/(1-m2) |
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| 23.04.2006, 17:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, das habe ich übersehen ... ich schau mir das doch gleich an! Bringt mich zunächst nicht sehr viel weiter, denn man muss ja eh erst x berechnen ... P.S.: Duzen ist hier erlaubt! mY+ |
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| 23.04.2006, 17:01 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mYthos das ist äquivalent zu m1+m2 > 0 @cling ... fernab deiner Post, die richtige Lösung für die 2 habe ich schon gepostet. |
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| 23.04.2006, 17:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Poff .. das stimmt zwar, ist aber vllt. zu allgemein. ist doch schärfer, oder nicht? Es soll doch dann auch noch der x- und y-Wert des Schnittpunktes angegeben werden!! |
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| 23.04.2006, 17:14 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mYthos die Schnittstelle x darf ja liegen wo sie will, sie muss eben nur existieren und m1+m2 > 0 wird von 2*exp(x), die ja den kompletten echt positiven Bereich abdekt, irgendwo erreicht. der x-Wert ist ln(1/2*m1+1/2*m2), wo ist das Problem ? ... macht mal tapfer weiter, ich muss jetzt weg |
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| 23.04.2006, 17:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, danke, zu kompliziert gedacht! 
mY+ |
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