Beweis: Eigenwerte <=1 dann gibts Grenzverteilung

24.04.2006, 02:22

MAX-NEUSS

Beweis: Eigenwerte <=1 dann gibts Grenzverteilung

Hey

wir alle wissen dass eine Matrix eine Grenzverteilung hat, sofern die Eigenwerte 1 und darunter sind!

Aber wie beweist man sowas, habe gehört dass man irgendwas mit Linearkombination machen muss!

Habt ihr ideen? wäre echt liep!!!!

24.04.2006, 08:50

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Also ich kenne die Grenzverteilung einer Folge von Zufallsgrößen, speziell da auch die Grenzverteilung bei einer bestimmten Klasse von Markovschen Ketten. Aber was du unter der "Grenzverteilung einer Matrix" verstehst, solltest du nochmal kurz erläutern.

24.04.2006, 08:55

MAX-NEUSS

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Mit Grenzverteilung meine ich das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } Mat^a * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = CONST \end{eqnarray*}$

24.04.2006, 09:00

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Zitat:

Original von MAX-NEUSS
Mit Grenzverteilung meine ich das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } Mat^a * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = CONST \end{eqnarray*}$

Ok, $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist die Matrix, und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ lässt du gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen. Aber was zum Teufel sind $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ???

Also betrachtest du nur Dimension 3 oder wie...

Alles in allem keine Erklärung, sondern nur mehr Verwirrung. unglücklich

24.04.2006, 09:07

MAX-NEUSS

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Sorry hab das doof gestaltet

$\begin{eqnarray*} Mat \end{eqnarray*}$ ist die Matrix

was ich damit ausdrücken wollte.
Wenn ich Eine Matrix unendlichmal mit einem Vektor multipliziere und die Eigenwerte = 1 sowie darunter sind pendelt sich das bei häufiger Ausführung bei der "Grenzverteilung ein"

Sind eigenwerte alle unter 0 strebt die verteilung auch gegen 0

Gibts höhere Eigenwerte als 1 so gibts kein Grenzverhalten!

Sry war mein fehler die schlechte gestaltung der "Formel" smile

24.04.2006, 09:13

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Also doch irgendwas mit Markovketten. Ich muss das mal klarstellen, denn von Grenzverteilung einer Matrix habe ich noch nie was gehört, wohl aber von Grenzverteilung einer homogenen Markovkette:

Ok, als Grenzverteilung einer nxn-Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezeichnest du also einen Nicht-Nullvektor $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ A^n\cdot p = p \end{eqnarray*}$ ,

sofern so ein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert. Ist es das?

24.04.2006, 09:52

MAX-NEUSS

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Wenn der Fall zutrifft, dass p beliebig sein kann, und immer das gleiche rauskommt dann ja!

Also unabhängig von der Ausgangsverteilung bei unendlichvielen "Übergängen" pendelt sich der Wert bei einer gewissen Verteilung ein, wenn es den eigenwert 1 gibt und keinen darüber!

Weisst du wie man sowas mit "Linearkombinationen" beweist?

24.04.2006, 10:12

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Achso, dann meinst du es also doch anders:

Als Grenzverteilung einer nxn-Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezeichnest du also einen Wkt-Vvektor $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} ~ A^n\cdot a = p \end{eqnarray*}$ ,

und zwar muss das für alle Wkt-Vektoren $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gelten.

Dann habe ich aber gleich ein Gegenbeispiel für deine Charakterisierung oben:

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} 1,-1 \end{eqnarray*}$ und erfüllt somit die Voraussetzungen. Wie man leicht überprüfen kann, gilt deine Grenzwertbeziehung aber nur für

$\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und das nur, falls $\begin{eqnarray*} a=p \end{eqnarray*}$ ist, d.h., also nicht für beliebige $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht solltest du das also dahingehend abändern, dass alle Eigenwerte außer der 1 selbst betragsmäßig echt kleiner als 1 sind. Dann könnte es klappen.

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