Beweis bzw. Widerlegung einer affinen Ebene

24.04.2006, 13:54

Liz

Beweis bzw. Widerlegung einer affinen Ebene

Hallo zusammen. Ich brauch mal dringend eure Hilfe. Kürzlich habe ich mit Geometrie angefangen und komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Sie lautet:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb P:= ((\mathbb R \times\mathbb R)\backslash\{ (0,0)\})\bigcup \{ \infty\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb G \end{eqnarray*}$ bestehe aus allen um $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ erweiterten Geraden der Anschauungsebene durch (0,0) sowie aus allen Kreisen der Anschauungsebene durch (0,0), aber jeweils ohne diesen Punkt. Beweisen oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} (\mathbb P,\mathbb G) \end{eqnarray*}$ ist eine affine Ebene.

Um eine affine Ebene nachzuweisen, muss ich zeigen, dass es
1. zu je zwei verschiedenen Punkten der Punktmenge genau eine Gerade der Geradenmenge gibt,
2. zu jedem Punkt P und jeder Geraden g genau eine Gerade h gibt, die durch P verläuft und parallel zu g ist und dass
3. mindestens drei nichtkollineare Punkte existieren.

Ich hab mir mal das ganze graphisch veranschaulicht. Es sind doch schnell zwei Punkte zu finden, die eine Verbindungsgerade ergeben, die aber nicht zur definierten Geradenmenge gehört, da sie nicht durch den Ursprung läuft. Damit wäre 1. nicht erfüllt und es handelt sich um keine affine Ebene.

Allerdings kommt mir das zu leicht vor und ich habe auch nicht diese merkwürdige Information mit dem "unendlich" benutzt. Ich hab noch nicht so recht kapiert, was da in der Aufgabe verlangt wird. traurig

Wer kann helfen?

Lieben Gruß
Liz

24.04.2006, 14:43

JochenX

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Zitat:

Ich hab mir mal das ganze graphisch veranschaulicht. Es sind doch schnell zwei Punkte zu finden, die eine Verbindungsgerade ergeben, die aber nicht zur definierten Geradenmenge gehört, da sie nicht durch den Ursprung läuft.

waren da nicht auch noch Kreise in G?
"Geraden" steht hier doch für alle Elemente aus G..... das sind nicht nur die Anschauungsobjekte des Normalraums.

seien also P,Q Punkte, O der Ursprung (0/0);
liegen diese 3 nun nicht kollinear, so spannen sie ein Dreieck mit Umkreis auf....

Zitat:

2. zu jedem Punkt P und jeder Geraden g genau eine Gerade h gibt, die durch P verläuft und parallel zu g ist und dass

da bräuchte man natürlich erst mal eine Definition von Parallel...

24.04.2006, 15:49

Liz

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Ja, da sind noch Kreise in G. Und wenn man zum Beispiel einen Kreis einzeichnet und zwei verschiedene Geraden, so dass die zwei Geraden den Kreis schneiden, dann hat man zwei verschiedene Schnittpunkte, die verbunden eine Gerade ergeben, die aber nicht zur Geradenmenge gehört, weil sie nicht durch (0,0) läuft. Also ist doch das erste Axiom verletzt, oder?

Seien P, Q und der Ursprung kollinear, dann spannen sie ein Dreieck auf. Und zu jedem Dreieck gibt es einen Umkreis. Diese Umkreise sind die Kreise meiner Geradenmenge. Hm...

Zur Definition von parallel: Zwei Geraden sind parallel, wenn sie alle oder keine Punkte gemeinsam haben. Jede Gerade ist zu sich selbst parallel. Allgemeiner könnte man sagen, dass Elemente der Geradenmenge, die alles oder nichts gemeinsam haben, parallel sind. Also ist auch ein Kreis zu sich selbst parallel. Genauso wie zwei Kreise parallel sind, die denselben Mittelpunkt und verschiedene Radien haben. Oder überhaupt zwei Kreise, die durch den Ursprung laufen und sonst keine gemeinsamen Punkte haben, da der Ursprung ja nicht enthalten ist. Hm...

So, das hab ich jetzt mal laut gedacht. Und nun?

24.04.2006, 15:57

JochenX

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Zitat:

aber diese beiden Punkte liegen auf einem dritten Kreis (ist "Gerade" in G), der auch den Ursprung enthalten würde.
=> 1. Axiom Existenz NICHT verletzt.
Eindeutigkeit!?

ich bin grad am Nachdenken, ob 2 verletzt ist... aber auch da konstruiert man nicht so schnell ein Beispiel....

3. ist sicher erfüllt (kannst 3 Punkte suchen)

24.04.2006, 16:04

Liz

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Ja, 3. ist erfüllt denke ich. Da kann ich ja beispielhaft drei Punkte raussuchen.

Bei 1. hast du ja recht. Durch die besagten zwei Punkte kann ich ja tatsächlich einen Kreis legen, der dann auch noch durch den Ursprung läuft. Drei verschiedene Punkte können einen Kreis festlegen. Fragt sich nur, wie ich für 1. einen sauberen Beweis anführen könnte.

Zu der Parallelität bei 2. ist mir noch nichts weiter eingefallen.

24.04.2006, 16:10

Leopold

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Bei dieser Realisierung einer affinen Ebene scheint mir der folgende Hintergrund vorzuliegen:

Wir identifizieren den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit der Gaußschen Zahlenebene $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und setzen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{A}_1 = \mathbb{C} \, , \ \ \ \mathbb{A}_2 = \left( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \right) \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$

Dann betrachten wir die folgende Abbildung

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \begin{cases} \ \mathbb{A}_1 \to \mathbb{A}_2 \\ \ z \mapsto \frac{1}{z} \end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ der Wert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ festgelegt wird.

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist die Spiegelung am Einheitskreis mit nachfolgender Spiegelung an der reellen Achse, insbesondere also bijektiv. Eine Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im üblichen Sinn wird durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ abgebildet auf

- einen in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gelochten Kreis $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ den Ursprung nicht enthält
- eine in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gelochte Gerade $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ einschließlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ den Ursprung enthält

Und das sind genau die Objekte, die im Eingangsbeitrag bei der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{G} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden. Damit liegt dort ein zweidimensionaler affiner Raum vor.

Betrachtet man nun eine Schar von Parallelen im üblichen Sinn, so bildet $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diese ab auf eine Schar von Kreisen, die sich im Ursprung (der selbst ja nicht dazugehört) berühren. Dazu gehört noch die die Kreise im Ursprung berührende Gerade als Bild derjenigen Geraden der Parallelenschar, die durch den Ursprung geht.

24.04.2006, 16:28

Liz

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Uff, Leopold, das muss ich erstmal verdauen. geschockt

Von der Gaußschen Zahlenebene hab ich noch nie gehört.

Hm, eine in 0 gelochte Gerade g' einschließlich "unendlich", wenn g den Ursprung enthält. Aber g enthält doch nie den Ursprung, (0,0) ist doch ausgeschlossen.

Geht das alles nicht irgendwie leichter, indem ich mich an den drei Axiomen entlang hangele und diese beweise?

Hm...oje...

24.04.2006, 17:39

Leopold

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Zitat:

Original von Liz
Uff, Leopold, das muss ich erstmal verdauen. geschockt

Von der Gaußschen Zahlenebene hab ich noch nie gehört.

Das ist nicht weiter schlimm. Ich hätte nur gedacht, daß du, wenn du schon Geometrie auf so abstraktem Niveau betreibst, von den komplexen Zahlen schon gehört hast.

Im Prinzip reichst es zur Vorstellung, wenn du Folgendes bedenkst:

Die übliche zweidimensionale Geometrie der Punkte und Geraden (um anderes geht es im Moment nicht) wird anders modelliert. Die Objekte ändern ihre Natur, aber nicht ihre Namen und nicht ihre Beziehungen untereinander.

1. Eine Gerade im üblichen Sinn, die nicht durch den Ursprung geht, wird jetzt ein in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gelochter Kreis, heißt aber weiterhin "Gerade". Da muß man eine Denksperre im Gehirn überwinden, weil das gegen alle Gewohnheit geht.

2. Eine Gerade im üblichen Sinn, die durch den Ursprung geht, wird jetzt eine in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gelochte Gerade, heißt aber trotz des Loches weiterhin "Gerade".

3. Am besten stellst du dir das Loch nicht als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern als $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ vor - und umgekehrt stellst du dir den Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (der irgendwo unerreichbar ganz weit draußen liegt) am besten wie die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ vor.

Daß die in 1. und 2. beschriebenen "Geraden" (in Anführungszeichen!) alle durch das Loch hindurchführen, ohne daß allerdings das Loch selbst dazugehörte, entspricht in der üblichen Geometrie der Tatsache, daß alle Geraden "durch Unendlich gehen" und sich in diesem eingebildeten Punkt träfen, wenn es ihn denn gäbe.

Jetzt betrachte im Standardmodell der Geometrie eine die Zeichenebene überdeckende Schar von parallelen Geraden. Eine einzige von diesen geht durch den Ursprung. Was für "Geraden" werden aus diesen echten Geraden im neuen Modell? Schau dir die Zeichnung aus meinem vorigen Beitrag an, dann siehst du es. Eine einzige von diesen "Geraden" geht durch den "Ursprung", denn der "Ursprung" ist ja hier $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

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