Senkrechte Vektoren in Ebene

15.05.2004, 11:26	Marc Ermshaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Senkrechte Vektoren in Ebene Guten Morgen und hallo Forum. Da ich bei folgendem Problem einfach nicht weiterkomme, möchte ich um eure Hilfe bitten: Gegeben ist eine Ebene E mit den Richtungsvektoren a und b über deren Lage zueinander keine Aussage getroffen werden kann. (Nur eben jene, dass sie für eine gültige Ebenengleichung taugen.) Gesucht sind diejenigen Vektoren z (ich vermute, es sind zwei), die senkrecht zu Richtungsvektor a in Ebene E liegen. Ich befinde mich im $\begin{align} \calR^3 \end{align}$ . Meine bisherigen Gedanken dazu: Es ist ein Vektor z (den anderen verschweige ich an dieser Stelle, sollte ja der Gegenvektor sein) gesucht, der sowohl in E liegt, als auch im Skalarprodukt mit Vektor a das Ergebnis 0 ergibt. Ich definiere Ebene E wie folgt: $\begin{align} E:\vec{x}=\vec{m}+r\vec{a}+s\vec{b} \end{align}$ Die beiden Bedingungen: $\begin{align} \vec{a}\vec{z}=0 <=> a1z1+a2z2+a3z3=0 \end{align}$ $\begin{align} \vec{z}=\vec{m}+r\vec{a}+s\vec{b} \end{align*}$ Und ab hier führte mein bisheriger Ansatz in eine Sackgasse, da ich auf eine einzige Gleichung zur Berechnung von r und s kam, was mir nicht ausreichte. Wie gesagt sind alle Werte außer Vektor z und den Faktoren r und s gegeben. Ich hoffe, das Problem ist überhaupt lösbar... Rein anschaulich überlegt sollte es das eigentlich. Vielleicht lässt sich 2-dimensional herangehen? Gruß Marc
15.05.2004, 11:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du das Vektorprodukt kennst, geht es so: $\begin{align} \vec{n} \ = \ \vec{a} \times \vec{b} \end{align}$ ist ein Normalenvektor der Ebene. Die von dir gesuchten Vektoren müssen auf $\begin{align} \vec{a} \ , \ \vec{n} \end{align}$ senkrecht stehen, also Vielfache von $\begin{align} \vec{a} \times \ (\vec{a} \times \ \vec{b}\) \end{align}$ sein.
15.05.2004, 12:32	Marc Ermshaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Schön und auch noch einfach. Vielen Dank, Leopold!
15.05.2004, 12:36	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn nicht, schau mal dort nach. http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3276&sid= Damit kannst du erst den Normalvektor bestimmen und mit diesem wiederum den gesuchten Vektor.

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