50 Flugzeugabstürze

24.04.2006, 17:31

7eddi

50 Flugzeugabstürze

Hi!

Ich hab gerade ne kleine Blokade bei folgender Aufgabe:

Pro Jahr finden etwa 50 Flugzeugabstürze statt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem ausgewählten Tag 0, 1, 2 bzw. mehr als 2 Abstürze passieren?

Hab meine Ideen alle verworfen, vielleicht denk ich zu kompliziert. Aber ihr könnt mir bestimmt helfen smile

.

Danke und Gruß,
Lucas

24.04.2006, 17:33

aRo

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man soll wohl davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeitfür einen Absturz für jeden Tag die gleiche ist?

aRo

24.04.2006, 17:39

MASTER-Tim

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Hallo,

da hab ich wohl müll erzählt

Tim

24.04.2006, 17:42

7eddi

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Also ist die Wahrscheinlichkeit für 0 Abstürze (50/365)^0 = 1? Da muss es doch ein allgemeingültiges System geben...

24.04.2006, 17:48

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Vergiss es, das stimmt nicht. Es gibt zwei mögliche sinnvolle Interpretationen

1) Binomialverteilung: Hier stürzen genau 50 Flugzeuge in dem Jahr ab.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Flugzeug an dem bewussten Tag abstürzt, ist dann gleich 1/365. Man erhält $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(50,\frac{1}{365}\right) \end{eqnarray*}$ für die zufällige Anzahl der an diesem Tag abstürzenden Flugzeuge.

2) Poissonverteilung: Hier liegt zugrunde, dass im langjährigen Mittel 50 Flugzeuge pro Jahr abstürzen, und die Anzahl der Abstürze an unterschiedlichen Tagen unabhängig sind (das ist bei 1) nicht der Fall!)

Die Absturzintensität pro Tag ist durch $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{50}{365} \end{eqnarray*}$ gegeben, weiter dann also mit $\begin{eqnarray*} X\sim \operatorname{Poisson}\left(\frac{50}{365}\right) \end{eqnarray*}$ rechnen.

24.04.2006, 17:51

7eddi

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Aah! Danke Arthur Dent, jetzt ists klar! Man muss nur das richtige Modell im Kopf haben...

24.04.2006, 18:55

Grand

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@ arthur:

ne binomialverteilung ist doch die beschreibung eines bernoulli versuches.Wenn ich jetzt nicht ganz daneben liege , ist ein Bernoulli Ereignis aber immer unabhängig vom Ausgang des vorherigen Versuches.Versteh das jetzt nicht ganz? verwirrt

24.04.2006, 18:57

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Was genau verstehst du nicht - diesen Kommentar hier?

Zitat:

Original von Arthur Dent
das ist bei 1) nicht der Fall!

24.04.2006, 19:02

Grand

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Zitat:

Original von Arthur Dent

2) Poissonverteilung: Hier liegt zugrunde, dass im langjährigen Mittel 50 Flugzeuge pro Jahr abstürzen, und die Anzahl der Abstürze an unterschiedlichen Tagen unabhängig sind (das ist bei 1) nicht der Fall!)
\operatorname{Poisson}\left(\frac{50}{365}\right)[/latex] rechnen.

das hier meinte ich.Für mich klingt das so wie als ob bei der Poissonverteilung die Ereignisse voneinander unabhänig sind, bei Bernoulli aber nicht?

Stimmt das so?

24.04.2006, 19:11

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Also du verwechselst da was beim Modell 1: Ich führe mal folgende Indikator-Zufallsvariablen ein

$\begin{eqnarray*} I_{t,k} \end{eqnarray*}$ ... ist gleich Eins, falls das Flugzeug Nr. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ am Tag $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abstürzt, sonst Null. (k=1..50, t=1..365)

Dann gilt für

$\begin{eqnarray*} X_t \end{eqnarray*}$ ... Anzahl der am Tag $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abstürzenden Flugzeuge

die Beziehung $\begin{eqnarray*} X_t = I_{t,1}+I_{t,2}+\cdots+I_{t,50} \end{eqnarray*}$ . Diese $\begin{eqnarray*} I_{t,k} \end{eqnarray*}$ , k=1..50, sind für festes t unabhängig, wir haben die Situation des Bernoulli-Experiments. Soweit gut.

Aber nach dieser Zeilen- mal die Spaltenbetrachtung: Die $\begin{eqnarray*} I_{t,k} \end{eqnarray*}$ , t=1..365, sind für festes k nicht unabhängig!!! Im Gegenteil, das Flugzeug stürzt genau einmal ab, also an einem bestimmten Tag, an den anderen dann nicht. Die Summe ist also deterministisch:

$\begin{eqnarray*} I_{1,k}+I_{2,k}+\cdots+I_{365,k}=1 \end{eqnarray*}$

Und diese Abhängigkeit über eine deterministische Verknüpfung ist dann auch bei den $\begin{eqnarray*} X_t \end{eqnarray*}$ zu beobachten:

$\begin{eqnarray*} X_1+X_2+\cdots+X_{365}=50 \end{eqnarray*}$ .

Also sind $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_{365} \end{eqnarray*}$ bei Modell 1 abhängig.

Bei Modell 2 ist das hingegen nicht der Fall, dort haben wir dann allerdings auch nicht mehr eine deterministische Absturzanzahl pro Jahr, sondern eine Poissonverteilte:

$\begin{eqnarray*} X_1+X_2+\cdots+X_{365}\sim\operatorname{Poisson}(50) \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt vermutlich erstmal verdauen. Augenzwinkern

25.04.2006, 07:58

Grand

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Ähm, ich habe das hier nieeeeeeee gelesen, ich schreib morgen Abi, das verwirrt mich ja vollends, obwohl es nachvollziehbar ist smile

danke für die Mühen smile

)

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