Riemannintegral von f(x)=x

24.04.2006, 19:11

Daktari

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Riemannintegral von f(x)=x

Hi, ich soll mit dem Riemann-Integral "beweisen", dass $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x~dx=\frac{1}{2} (b^2 -a^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx=\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} h=max(x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass man $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ geschickt wählen muss, aber mir fehlt da der zündende Gedanke...
Ich komm von dem Gedanken nicht weg folgendes zu wählen
$\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k(b^2-a^2)}{n} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} x_k - x_{k-1} = \frac{(b^2-a^2)}{n} \end{eqnarray*}$ . und das geht "wunderbar" gegen 0 für wenn n nach unendlich geht. Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x~dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k)\frac{(b^2-a^2)}{n} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die Summe betrachten, mit ihr "spielen" und dann n gegen unendlich laufen lassen. Wenn alles richtig ist, muss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (b^2 -a^2) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Ich sehe zwar dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k)\frac{(b^2-a^2)}{n} = \frac{(b^2-a^2)}{n} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k) \end{eqnarray*}$

Wie das $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ zu wählen ist, weiß ich nicht verwirrt

verwirrt

.Bin für jeden Tip dankbar.

Info: In einen so ähnlichen Beweis hat mein Prof. folgendes benutzt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~z^{k-1}=\frac{1-z^n}{1-z} \end{eqnarray*}$

25.04.2006, 00:26

Ben Sisko

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Hallo Daktari,

versuch dich mal davon zu lösen, dass du das "Ergebnis" schon kennst (das Quadrat kommt durch die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} f(\xi_k) \end{eqnarray*}$ zustande, das brauchst du in deiner Zerlegung noch nicht) und stell dir vor, was man beim Riemann-Integral macht.

Zerlege den zu integrierenden Bereich "äquidistant", also in n gleich grosse Teile. Dann ist die Differenz $\begin{eqnarray*} (x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ leicht zu berechnen.
Dann musst du noch die Zwischenstelle $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ "leicht" wählen, berechne also am besten eine Untersumme oder eine Obersumme.

Gruß vom Ben

25.04.2006, 00:58

Teutone

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Das sieht ja alles schön kompliziert aus, aber warum kann man für dieses $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ nicht einfach $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n}\cdot k \end{eqnarray*}$ schreiben und $\begin{eqnarray*} x_k-x_{k-1} \end{eqnarray*}$ ist doch sowieso $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ bei äquidistanten Intervallen?

25.04.2006, 01:01

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Teutone
Das sieht ja alles schön kompliziert aus, aber warum kann man für dieses $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ nicht einfach $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n}\cdot k \end{eqnarray*}$ schreiben

Das $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ ist eine Zwischenstelle zwischen $\begin{eqnarray*} x_{k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ .

Bei der Differenz hast du Recht (auch wenn man ja eine Definition von $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ braucht, wenn man $\begin{eqnarray*} \xi_k=x_k \end{eqnarray*}$ wählt, da reicht nur die Differenz ja nicht aus).

Was meinst du denn mit "kompliziert"?

25.04.2006, 01:18

Teutone

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Zitat:

auch wenn man ja eine Definition von $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ braucht, wenn man $\begin{eqnarray*} \xi_k=x_k \end{eqnarray*}$ wählt

Hmm na ja, in dem Falle ist es dann immer das linke oder rechte Intervallende, je nach Unter- oder Obersumme, da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist.

Aber mir fällt grad auf, dass wenn dies nicht der Fall ist, man tatsächlich nicht einfach die Intervallenden nehmen kann. Und in dem Fall wäre es dann wohl nicht so einfach zu zeigen, dass Unter- und Obersumme für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gleich groß sind.

Das mit dem "komliziert" hatte nix weiter zu bedeuten, hatte mir Daktaris Post nur nicht weiter durchgelesen...

25.04.2006, 02:00

Ben Sisko

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"Eigentlich" wird das Riemann-Integral nicht über die Unter- und Obersummen definiert (dies ist das Darboux-Integral), sondern über eine allgemeine Zwischenstelle, siehe

Warum 1/3*G*H ?? (Kegel)

und

Numerische Integration (Rechteckmethode)

Gruß vom Ben

Edit: Daktaris Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ lässt darauf schließen, dass hier eben das "echte" Riemann-Integral mit den Zwischenstellen gemeint ist.

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25.04.2006, 22:03

Daktari

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Ich habe mir nun $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ gewählt, aber mein Problem ist dass (laut Vorlesung) $\begin{eqnarray*} \xi_k \in [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ sein muss

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx=\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_k:=\frac{k(b+a)}{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_k:=\frac{(2k-1)(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{k-1}-x_k=\lim_{n \to \infty} \frac{(b-a)}{2n}=0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x~dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~\xi_k (x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\xi_k (x_k - x_{k-1})=\sum_{k=1}^n~\frac{(2k-1)(b-a)}{n} \frac{(b-a)}{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{(b^2-a^2)}{2n^2}\sum_{k=1}^{n}2k-1=\frac{(b^2-a^2)}{2n^2}*n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{(b^2-a^2)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(b^2-a^2)}{2}=\frac{(b^2-a^2)}{2} \end{eqnarray*}$
Damit wäre ich fertig, wenn nicht $\begin{eqnarray*} \xi_k \in [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ gefordert wäre

Ich bin am verzweifeln traurig

traurig

25.04.2006, 22:54

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
Damit wäre ich fertig, wenn nicht $\begin{eqnarray*} \xi_k \in [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ gefordert wäre

Nicht nur das, deine $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ sind auch gar keine Zerlegung von [a,b]. Dafür muss doch $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=b \end{eqnarray*}$ sein.

Du versuchst viel zu sehr auf das Ergebnis abzuzielen. Warum machst du nicht mal einfach, was ich dir geraten habe?

Weißt du, wie man eine äquidistante Zerlegung von [a,b] hinkriegt (brauchst dabei noch absolut nicht an das zu denken, was du nachher damit machen willst)?

25.04.2006, 23:00

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Hallo Daktari,

versuch dich mal davon zu lösen, dass du das "Ergebnis" schon kennst (das Quadrat kommt durch die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} f(\xi_k) \end{eqnarray*}$ zustande, das brauchst du in deiner Zerlegung noch nicht) und stell dir vor, was man beim Riemann-Integral macht.

Zerlege den zu integrierenden Bereich "äquidistant", also in n gleich grosse Teile. Dann ist die Differenz $\begin{eqnarray*} (x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ leicht zu berechnen.
Dann musst du noch die Zwischenstelle $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ "leicht" wählen, berechne also am besten eine Untersumme oder eine Obersumme.

Gruß vom Ben

Nun, meine Probleme sind
1.) In der Vorlesung hängen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ von n,k ab.
2.) Würde ich $\begin{eqnarray*} x_k = \frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$ wählen, dann wäre $\begin{eqnarray*} x_k - x_{k-1}=\frac{(b-a)}{n}-\frac{(b-a)}{n}=0 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x~dx=\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k) *(x_k - x_{k-1})=\lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k)*0=0 \end{eqnarray*}$

25.04.2006, 23:07

Ben Sisko

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Also fangen wir nochmal langsam an:

$\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=b \end{eqnarray*}$ .
Dazwischen sollst du nun das Intervall in n gleiche Teilstücke aufteilen. D.h. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ kommt nach dem ersten solchen Teilstück. Wie lautet $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ?

(und jetzt schreib mir kein Integral hin! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

25.04.2006, 23:12

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
$\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=b \end{eqnarray*}$ .
Dazwischen sollst du nun das Intervall in n gleiche Teilstücke aufteilen. D.h. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ kommt nach dem ersten solchen Teilstück. Wie lautet $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ?

Nach einer Skizze komme ich auf die Vermutung (welche ich schon oben gepostet habe) $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in [1,2,...,n] \end{eqnarray*}$
Damit ist auch die Länge von $\begin{eqnarray*} x_1 =\frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$

25.04.2006, 23:18

Ben Sisko

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$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ hat keine Länge, das ist eine Zahl aus [a,b].

Ausserdem gibt's bei dir ja gar kein k, so dass gar nicht $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n=b \end{eqnarray*}$ herauskommen kann.

Ich helf dir damit mal weiter:
zu $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ will man nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \text{-tel} \end{eqnarray*}$ des Intervalls dazu addieren, also $\begin{eqnarray*} x_1=a+\frac{1}{n}(b-a) \end{eqnarray*}$ .

Kannst du nun $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ hinschreiben?

25.04.2006, 23:22

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
zu $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ will man nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \text{-tel} \end{eqnarray*}$ des Intervalls dazu addieren, also $\begin{eqnarray*} x_1=a+\frac{1}{n}(b-a) \end{eqnarray*}$ .
Kannst du nun $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ hinschreiben?

$\begin{eqnarray*} x_k=a+\frac{k}{n}(b-a) \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2006, 23:26

Ben Sisko

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Freude

Nun kannst du ja $\begin{eqnarray*} x_k-x_{k-1} \end{eqnarray*}$ bilden.

Wie du $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ wählen sollst, hab ich ja auch schon gesagt. Entweder Ober- oder Untersumme, in diesem streng monotonen Fall also einfach $\begin{eqnarray*} x_{k-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ .

25.04.2006, 23:44

Daktari

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Also wenn ich $\begin{eqnarray*} x_k=a+\frac{k}{n}(b-a) \end{eqnarray*}$ wähle, dann ist $\begin{eqnarray*} x_k - x_{k-1} = \frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$

Ich entscheide mich für $\begin{eqnarray*} \xi_k=x_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x~dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~f(\xi_k) (x_k - x_{k-1})=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n~[a+\frac{k}{n}(b-a)]\frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a\frac{(b-a)}{n}+k\frac{(b-a)^2}{n^2} =a\frac{(b-a)}{n}+\frac{(b-a)^2}{n^2}\sum_{k=1}^n~k= a\frac{(b-a)}{n}+\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

stimmt's soweit ?

25.04.2006, 23:54

Ben Sisko

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Das $\begin{eqnarray*} a\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ hast du nur einmal "rausgezogen", obwohl der Summand n-mal vorkommt.

26.04.2006, 00:06

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Das $\begin{eqnarray*} a\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ hast du nur einmal "rausgezogen", obwohl der Summand n-mal vorkommt.

Müsste es dann so heißen ?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a\frac{(b-a)}{n}+k\frac{(b-a)^2}{n^2} =a(b-a)+\sum_{k=1}^n~\frac{(b-a)^2}{n^2}k \\= a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{n^2}\sum_{k=1}^n~k= a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Ben

26.04.2006, 00:12

Ben Sisko

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Besser.

Wenn sich jetzt $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} n(n+1) \end{eqnarray*}$ kürzen würde, wären wir da, wo wir hinwollen.
DEN Fehler seh ich aber gerade selbst nicht... unglücklich

unglücklich

Edit: Quatsch, kein Fehler. Da steht ja noch der Limes davor.

26.04.2006, 00:22

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Besser.

Wenn sich jetzt $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} n(n+1) \end{eqnarray*}$ kürzen würde, wären wir da, wo wir hinwollen.
DEN Fehler seh ich aber gerade selbst nicht... unglücklich

unglücklich

Edit: Quatsch, kein Fehler. Da steht ja noch der Limes davor.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2} =\frac{2a(b-a)+b^2-2ab+a^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2ab-2a^2+b^2-2ab+a^2}{2}= \frac{-2a^2+b^2+a^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2} \end{eqnarray*}$

Ben, ich liebe dich Mit Zunge

Mit Zunge

danke

26.04.2006, 00:24

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
Ben, ich liebe dich Mit Zunge

Mit Zunge

Big Laugh

Gern geschehen.

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