erwartungstreuer schätzer

18.07.2008, 11:04

Calimbo

erwartungstreuer schätzer

hallo,

habe ein problem mit einer aufgabe. leider auch damit wie ich sie vernünftig im forum darstelle (könnte da auch einen tip gebrauchen)
ich soll sagen, ob folgender schätzer erwartungstreu ist:

(X1/2) + 1/(2*(n-1))*Summe(von i=2 bis n) von Xi

vielen vielen dank. drehe nämlich gleich durch

18.07.2008, 11:09

therisen

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Was soll überhaupt geschätzt werden? Poste mal die vollständige Aufgabenstellung.

18.07.2008, 11:13

Calimbo

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es wird eine zufallsstichprobe X1,X2,...Xn aus X und der erwartungswert E(X) betrachtet. nun soll bestimmt werden ob der angegebene schätzer erwartungstreu ist.

wie kann ich formeln vernünftig darstellen?

18.07.2008, 11:32

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Mit dem boardeigenen LaTeX:

$\begin{eqnarray*} T = \frac{X_1}{2} + \frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=2}^n X_i \end{eqnarray*}$

Zum Inhalt: Rechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} E(T) \end{eqnarray*}$ aus, unter Nutzung der Linearität des Erwartungswertoperators, dabei nutzend, dass die $\begin{eqnarray*} E(X_i) \end{eqnarray*}$ der Stichprobenelemente sämtlich einander gleich dem Erwartungswert der Grundgesamtheitsverteilung sind. Dann kannst du direkt sehen, ob dein $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ erwartungstreu ist.

18.07.2008, 12:56

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ich erhalte

$\begin{eqnarray*} [latex]\frac{1}{2}E(X_1)+\frac{n}{2*(n-1)}*E(X_i) \end{eqnarray*}$ [/latex]

da E(X1) und (Xi) gleich dem erwartungswert mü sind, würde wenn die vorfaktoren zusammen 1 ergeben, der erwartungswert mü herauskommen und der schätzer wäre erwartungstreu. in diesem fall ist dies nicht möglich -> nicht erwartungstreu

18.07.2008, 13:16

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Und das Summenzeichen lassen wir mal ganz geflissentlich weg ... so nicht! unglücklich

18.07.2008, 13:38

Calimbo

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habe es doch durch das n über dem bruchstrich berücksichtigt. ist dies nicht ausreichend?
wie würdest du es lösen? habe keinen anderen ansatz

18.07.2008, 13:38

Besserwisserin

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Ich glaube da ist einfach nur ein bisschen was durcheinander gekommen...

Also von vorne:

$\begin{eqnarray*} T = \frac{X_1}{2} + \frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=2}^n X_i \end{eqnarray*}$

Erwartungswertbildung, und wie Arthur schon anmerkte, Ausnutzung der Linearität (du kannst den Erwartungswertoperator auf jeden Summanden einzeln anwenden):

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(T) = \frac{\operatorname{E}(X_1)}{2} + \frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=2}^n \operatorname{E}(X_i) \end{eqnarray*}$

Wir unterstellen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(X_i)=\operatorname{E}(X)\,\forall\,i \end{eqnarray*}$ ist, damit folgt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(T) = \frac{\operatorname{E}(X)}{2} + \frac{n-1}{2(n-1)} \operatorname{E}(X) \end{eqnarray*}$

(Die Summe fällt daher weg, da es die Summe von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ identischen Elementen ist (siehe Zähler im zweiten Summanden), und schließlich ergeben zwei Halbe ein Ganzes:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(T)=\operatorname{E}(X) \end{eqnarray*}$

Unter der oben getroffen Annahme liegt also Erwartungstreue vor.

18.07.2008, 13:42

Calimbo

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stimmt, die summe ist ja nicht n* sondern (n-1)*, da der index von i=2 bis n läuft.
tausend dank. mir ist geholfen

18.07.2008, 13:43

Calimbo

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habe noch eine sache zur dichtefkt und wahrscheinlichkeitsfkt gepostet. kann mir einer von euch da eben behilflich sein?

vielen dank

18.07.2008, 19:40

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Zitat:

Original von Calimbo
habe es doch durch das n über dem bruchstrich berücksichtigt.

Hatte ich glatt übersehen, vielleicht weil ich auf das n-1 gewartet hatte. Augenzwinkern

Hast du ja inzwischen richtig korrigiert. Freude

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erwartungstreuer schätzer

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