Herleiten der Quotientenregel mit Differenzial Quotient! HILFE!!

24.04.2006, 19:32

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Herleiten der Quotientenregel mit Differenzial Quotient! HILFE!!

Hi

Ich muss im Mathe Leistungskurs eine Belegarbeit machen und da hab ich folgende Aufgabe:

"Leiten sie die Quotientenregel mit Hilfe des Differenzialquotienten her"

Die Quotientenregel ist ja folgende:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{u}{v} \Rightarrow y'= \frac{u'v - uv'}{v²} \end{eqnarray*}$

und

der Differenzialquotient wird ja so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

doch ich hab überhaupt kein Plan wie ich nun aus dem Differenzialquotient die Quotientenregel herleiten kann! verwirrt

verwirrt

traurig

Ich hoffe ihr helft mir, is nämlich echt wichtig! Ein paar Tips wären schon nicht schlecht!
Danke schonmal im vorraus!

mfg David

24.04.2006, 19:35

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst ja jetzt den differenzenquotient schonmal mit deiner funktion f=u/v umsetzen - also anstatt f(x+h) dann eben...... schreiben!

dann hast du im nenner zwei brüche stehen, die du schonmal verbinden solltest...
schaffst du das soweit?

24.04.2006, 19:47

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal danke für die schnelle Antwort!

Aber leider versteh ich das nicht richtig... traurig

traurig

soll die Funktion dann so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{u}{v} - f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

aber dann hab ich ja blos 1 Funktion im Nenner geschockt

geschockt

24.04.2006, 19:54

-felix-

Auf diesen Beitrag antworten »

Üblicherweise gliedert man eine Beweis (so hat uns es jedenfalls unser Matheleherer eingetrichtert):
1) Voraussetzungen darstellen
2) aufschreiben, was zu zeigen ist
3) der eigentliche Beweis
Ich helfe dir mal
1) Voraussetzung:
Es sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \setminus \{x|v(x) = 0\} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} u(x), v(x) \end{eqnarray*}$ seien dabei differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ .
2) es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du mit 3) weitermachen, indem du ausgehend von obiger Funktion f nochmals deinen Differenzenquotienten bildest...

24.04.2006, 20:07

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

punkt 1 und 2 hatte ich jetzt schon vorausgesetzt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

noch ne hilfe zum eigentlichen beweis:

ich geb dir mal ein beispiel, wie ich das "umschreiben" des dqf's meine:

also, du hast beispielsweise die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und wolltest jetzt die ableitung mit hilfe des dqf bilden, dann würdest du ja folgendermaßen vorgehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$

dabei wäre also das (x+h)^2 dein f(x+h) - du hast bei der funktion f also für x ganz einfach (x+h) eingesetzt!
und hinten steht dann das "-f(x)" also hier eben "-x^2"!

bei deinem beispiel musst du das ganze jetzt eben anstatt des konkreten x^2 mit u(x)/v(x) machen...

24.04.2006, 20:30

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso!

Also muss dann folgendes da stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

??

Aber so komm ich nicht richtig weiter! Weil babelfish, du hast ja eine richtige funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x² \end{eqnarray*}$ gegeben, aber ich halt blos $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ !

Was mach ich da?

Anzeige

24.04.2006, 20:40

cling

Auf diesen Beitrag antworten »

Erweiter doch erstmal so, dass du die Brüche auf einen Bruchstrich schreiben kannst. Meiner Meinung nach ist es aber am einfachsten die Quoptientenregel aus Reziproken- und Produktregel herzuleiten. Hängt aber natürlich von der Aufgabenstellung ab.

24.04.2006, 20:49

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Werd ich wohl mal probieren!

Nochmal danke für die Antworten, hat mich schon einiges weiter gebracht!
Falls es noch paar tips gibt, immer her damit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten probier ich erst mal selbst und wenn ich nich weiterkomme meld ich mich nochmal!

mfg David

24.04.2006, 20:52

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Probiers mal mit Hauptnenner und "Null addieren".

24.04.2006, 21:00

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetz folgendes vor mir

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(u(x+h) * v(x)) - (u(x) * v(x+h))}{v(x+h) * v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

soweit richtig oder?!

davon jetz der Reziproke wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(u(x+h) * v(x)) - (u(x) * v(x+h))}{v(x+h) * v(x) * h} \end{eqnarray*}$

sieht verwirrend aus und komm auch jetz schon wieder nicht weiter... unglücklich

unglücklich

Was meinst du mit "Null Addieren" ??

24.04.2006, 21:12

-felix-

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst jetzt benutzen, dass du weist, was rauskommen soll. du hast jetzt im vorderen Teil des Bruches $\begin{eqnarray*} \frac{u(x+h)\cdot v(x)}{h\cdot v(x+h) \cdot v(x)} \end{eqnarray*}$ . Den Differenzenquotienten der Ableitung von u(x) ist ja: $\begin{eqnarray*} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \end{eqnarray*}$ . Jetzt schau mal, was fehlt.

24.04.2006, 21:35

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} - u(x) \end{eqnarray*}$ fehlt und die beiden $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ kann man wegkürzen... dann is aber das $\begin{eqnarray*} v(x+h) \end{eqnarray*}$ aber noch da verwirrt

verwirrt

irgendwie ergibt für mich das schon irgendwie ein wenig Sinn, aber wiederrum versteh ich es doch noch nich so richtig... unglücklich

unglücklich

24.04.2006, 21:40

-felix-

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das stimmt schon. Das v(x) könntest du zwar wegkürzen, aber lass es einfach spasseshalber mal stehen. Ich schreib mal zusammen, was wir dann haben (lasse die lim aber aus Faulheit weg, das solltest du aber besser bei der Abgabe dann nicht tun):
$\begin{eqnarray*} \frac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x) \cdot v(x+h)}{h\cdot v(x) \cdot v(x+h)} = \frac{\left[u(x+h)-u(x)+u(x)\right]\cdot v(x) - u(x) \cdot v(x+h)}{h \cdot v(x) \cdot v(x+h)} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt versuche das mal umzustellen und zu vereinfachen.
edit: vergessenes h reineditiert.

24.04.2006, 21:40

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

der trick ist jetzt der, dass du deinem zähler etwas hinzufügst! (das meint daktari auch mit "null addieren")
so ähnlich wie bei der quadratischen ergänzung... du addierst etwas und ziehst es im gleichen zug auch wieder ab! so veränderst du den wert der gleichung nicht, aber das kann dir ungemein weiter helfen!

du hast ja jetzt im zähler zwei teile, einmal

1. u(x+h)*v(x)

und

2. -v(x+h)*u(x)

du hättest gerne

1.1 v(x)*(u(x+h)-u(x))
also v(x)*den dqf von u(x)

und

2.1 -u(x)*(v(x+h)-v(x))
also -u(x)*den dqf von v(x)

was könntest du jetzt optimaler weise bei 1. addieren um auf 1.1 zu kommen?

/Edit: och mensch felix, jetzt hastes ja schon verraten! Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2006, 21:45

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fraggaa
Also ich hab jetz folgendes vor mir

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(u(x+h) * v(x)) - (u(x) * v(x+h))}{v(x+h) * v(x)}}{h} \end{eqnarray*}$

soweit richtig oder?!

davon jetz der Reziproke wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(u(x+h) * v(x)) - (u(x) * v(x+h))}{v(x+h) * v(x) * h} \end{eqnarray*}$

sieht verwirrend aus und komm auch jetz schon wieder nicht weiter... unglücklich

unglücklich

Was meinst du mit "Null Addieren" ??

1.)Zum thema "Null addieren":
Sei w(x) eine beliebige Funktion, dann ist doch klar, dass w(x)-w(x) = 0 ist.
Da 0 sich bei der Addition neutral verhält (also nichts an der Summe ändert) darf man also w(x)-w(x) zu anderen Funktionen dazuaddieren.

z.B. $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)+w(x)-w(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Statt w(x) musst du in deiner Aufgabe eine "Kombination aus u und v" wählen mit der du am geschicktesten 0 addierst

2.)Frage an dich: Was passiert mit v(x+h) wenn h gegen 0 geht?

24.04.2006, 22:23

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich lass jetz auch mal das Lim weg...

also irgendwie durch das "Null-Addieren" und durch die Hilfe von euch 3 bin ich jetz auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{v(x)*[u(x+h)-u(x)] + u(x) - u(x)*[v(x+h)-v(x)]+v(x)}{h*v(x)*v(x+h)} \end{eqnarray*}$

Zwar hab ich die 1.1. und 2.1 von Babelfish beachtet und das hinzuaddierte auch gleich wieder wegaddiert, doch ich befürchte trotzdem, dass es doch noch falsch ist...

Zitat:

Original von Daktari
2.)Frage an dich: Was passiert mit v(x+h) wenn h gegen 0 geht?

da müsste V doch auch gegen 0 gehen, weil v von h abhängig ist...oder?!

24.04.2006, 23:52

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$
Das ist nur Definition und Hauptnenner, mehr nicht

Es wurde schon im Thread erwähnt, dass du die Null beim "Null addieren" so wählen sollst $\begin{eqnarray*} 0=u(x)v(x)-u(x)v(x) \end{eqnarray*}$

Diese 0 addierst du im ZÄHLER (also oben).
Klammer dann mal v(x) und u(x) aus.

Kommste damit weiter?

INFO: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}v(x+h)=v(x) \end{eqnarray*}$

EDIT: Behalte dir folgendes im Hinterkopf:
1.)Die Definition des Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$
2.)Das was rauskommen soll: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \end{eqnarray*}$

24.04.2006, 23:53

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

wofür haben wir eigentlich diesen ellenlangen Ableitungsregelthread?
Ableitungen Beweise

25.04.2006, 19:54

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

ALSO

ich muss theoretisch auf folgendes kommen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} x \frac{( \frac{u(x+h)-u(x)}{h})*v(x+h) - ( \frac{v(x+h)-v(x)}{h})*u(x+h)}{v(x+h)*v(x+h)} \end{eqnarray*}$

oder?!

Wenn das stimmt, dann muss ich blos erst einmal schauen wie ich das am besten mit "Null Addieren" so umgestellt bekomme!

25.04.2006, 20:00

-felix-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fraggaa
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} x \frac{( \frac{u(x+h)-u(x)}{h})*v(x+h) - ( \frac{v(x+h)-v(x)}{h})*u(x+h)}{v(x+h)*v(x+h)} \end{eqnarray*}$

Ja, sowas in der Art soll rauskommen. Allerdings wirst du auf das oben angegebene nie kommen, sondern auf so etwas:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} x \frac{\left( \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \right) \cdot v(?) - \left( \frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right)\cdot u(?)}{v(?)\cdot v(?)} \end{eqnarray*}$
Dabei soll $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ sein.

25.04.2006, 20:30

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ausgehend davon:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$

versuch ich euch mal zu zeigen wie ich das weiter löse!

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h*v(x+h)v(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{u(x+h)}{h}*v(x) - \frac{v(x+h)}{h}*u(x)}{v(x+h)*v(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{u(x+h)-u(x)}{h}*v(x)u(x) - \frac{v(x+h)-v(x)}{h}*u(x)v(x)}{v(x+h)*v(x)} \end{eqnarray*}$

is das so korrekt?

blos ich komm jetz nich weiter unglücklich

unglücklich

25.04.2006, 20:39

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$

Addiere hier zuerst $\begin{eqnarray*} 0=u(x)v(x)-u(x)v(x) \end{eqnarray*}$ im Zähler und klammer dann aus

25.04.2006, 20:46

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)+uv(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$

oder wie??

unglücklich

unglücklich

ich dachte ich komm jetz zurecht ... aber anscheinend doch nich unglücklich

unglücklich

traurig

25.04.2006, 21:10

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fraggaa
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)+uv(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$

oder wie??

fast,

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) }{h*v(x+h)v(x)}=\lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)-u(x)v(x)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{v(x)[u(x+h)-u(x)]-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h*v(x+h)v(x)} \end{eqnarray*}$

Ich hab dir mal u(x) und v(x) ausgeklammert, kommste damit weiter?

Behalte dir folgendes im Hinterkopf:
1.)Die Definition des Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$
2.)Das was rauskommen soll: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \end{eqnarray*}$

25.04.2006, 21:35

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{v(x)[u(x+h)-u(x)]-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h*v(x+h)v(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{u(x+h)-u(x)}{h}*v(x) - \frac{v(x+h)-v(x)}{h}*u(x)}{v(x+h)*v(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)= \frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v(x)*v(x)} \end{eqnarray*}$

was zu beweisen war?!!

25.04.2006, 21:37

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

genau so

Freude

25.04.2006, 21:39

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhuuu

smile

Großen Dank!! Gott

Gott

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »