Partialbruchzerlegung f. Integration

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18.07.2008, 12:06	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung f. Integration Ich muss für ein Integral $\begin{eqnarray} \frac{x^2-1}{x(x^2+1)} \end{eqnarray}$ eine Partialbruchzerlegung durchführen. Als erstes bestimme ich die Pole , dies wäre dreimal die Null. Da ich einen 3-fachen Pol habe müsste ich nun die Terme $\begin{eqnarray} \frac{A_1}{(x-0)} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{A_2}{(x-0)^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{A_3}{(x-0)^3} \end{eqnarray}$ haben, nur wie geht es dann weiter?
18.07.2008, 12:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf 3 mal die Null? Du hast hier eine reelle (die Null) und 2 komplexe Nullstellen. Bei komplexen Nullstellen lautet der Ansatz für den Summanden: $\begin{eqnarray} \frac{Ax+B}{x^2+pq+q} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x^2+px+q \end{eqnarray}$ das Polynom mit den 2 komplexen Nullstellen ist.
18.07.2008, 12:25	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, bin mal wieder auf dem falschen Weg :-/
18.07.2008, 12:40	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergibt dann ja $\begin{eqnarray} \frac {A}{(x-0)} + \frac{Bx+C}{(x^2+1)} \end{eqnarray}$
18.07.2008, 13:06	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Lösung wird daraus $\begin{eqnarray} \frac{A(x^2+1)+(Bx+C)x}{x(x^2+1)} \end{eqnarray}$ , ist mir aber nicht so ersichtlich. Nach meinem Skript müsste ich ja die beiden Brüche jeweils mit dem Nenner multiplizieren, würde dann aber auf $\begin{eqnarray} \frac{Ax(x^2+1)}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{(Bx+C)x(x^2+1)}{(x^2+1)} \end{eqnarray}$ kommen. Ist mit Sicherheit falsch, allerdings heißt es bei mir im Skript man würde halt die Zerlegung mit dem Nenner multiplizieren ?
18.07.2008, 13:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wurden einfach nur die beiden Brüche addiert. Sprich Hauptnenner gebildet und dann die Zähler addiert.
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18.07.2008, 13:13	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, aber dennoch gilt doch dass ich beide Terme zudem mit dem Nenner multipliziere, oder? Das zusammenführen auf einen gemeinsamen Nenner kann ich ja danach machen? Ist meine Vorstellung richtig, das ich nicht zuerst alle Terme mit dem ursprünglichen Nenner multipliziere?
18.07.2008, 13:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du erweiterst (nicht multiplizieren!) die Brüche so, dass der Nenner dem Hauptnenner (der ursprüngliche Nenner) entspricht.
18.07.2008, 13:27	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann steht das ganz schön schlecht in meinem Skript. Das gilt für alle Fälle der PBZ? Kann ich das so auffassen: Ich möchte wieder den gleichen Nenner haben wie von meinem ursprünglichen Bruch, nur dass ich dann nicht mehr den gleichen Zähler habe sondern den "neuen"?
18.07.2008, 13:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du so willst, ja. Du mußt (in diesem Fall) $\begin{eqnarray} \frac {A}{(x-0)} + \frac{Bx+C}{(x^2+1)} \end{eqnarray}$ wieder zu einem Bruch zusammenfassen. Dadurch erhältst du wieder als Nenner den Nenner vom ursprünglichen Bruch. @tmo: du warst gerade nicht online, deswegen habe ich geantwortet.
18.07.2008, 14:21	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das habe ich jetzt auch verstanden. Werde ich auch gleich machen, lege jetzt erstmal eine Pause ein. In meinem Skript erscheint nach diesem Schritt jedoch nicht wieder, es wird (scheinbar) nur noch der Zähler betrachtet danach ?
18.07.2008, 14:25	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
stichwort: koeffizientenvergleich! "vergleiche mit x²-1",
18.07.2008, 16:52	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant, dann weiß ich jetzt endlich (oder liege ich mal wiede total falsch?) was der Koeffizientenvergleich macht bzw. wofür er nützlich ist. Ich erweitere $\begin{eqnarray} \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1} \end{eqnarray}$ und erhalte $\begin{eqnarray} \frac{(A+B)x^2+Cx+A}{(x^2+1)x)} \end{eqnarray}$ . Nun vergleiche ich die Koeffizienten meines "neuen" Zählers mit dem alten x²-1 und erhalte A+B=1 A=-1 C=0 folgt B=2 Dann mache ich mich mal an mein Integral :-)
18.07.2008, 17:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig
18.07.2008, 17:14	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Skript wird ferner noch die Zuhaltemethode zur Koeffizientenbestimmung ermittelt? Wie funktioniert die denn alternativ?
18.07.2008, 17:40	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
So, das Integral der Funktion sollte von 1 bis 2 (obere Grenze) gehen. Also habe ich nun nach meiner PBZ: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2}-\frac{1}{x} + \frac{2x}{x^2+1}dx \end{eqnarray}$ Da der logarithmus abgeleitet $\begin{eqnarray} \frac {1}{x} \end{eqnarray}$ ist und der Zähler des zweites Bruches genau eine Ableitung des Nennes des selbigen Bruches ist (Logarithmische Ableitung) folgt $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2}-ln(x)+ln(x^2+1) \end{eqnarray}$ , was dann ergibt: $\begin{eqnarray} -ln(2)+ln(5)-ln(2)+ln(1) = ln(5/4) \end{eqnarray}$
18.07.2008, 17:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist richtig, aber die Umformung $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2}-\frac{1}{x} + \frac{2x}{x^2+1}dx = \int_{1}^{2}-ln(x)+ln(x^2+1) \end{eqnarray}$ ist Schwachsinn. Du meinst wohl $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2}-\frac{1}{x} + \frac{2x}{x^2+1}dx = [-ln(x)+ln(x^2+1)]_1^2 \end{eqnarray}$
19.07.2008, 12:33	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wusste nicht wie ich das bei Latex schreiben kann....
19.07.2008, 12:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht doch sogar im Formeleditor
19.07.2008, 12:44	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, habe ich wohl übersehen :-/

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