Bernoulli Ungleichung

18.07.2008, 17:07

Felix

Bernoulli Ungleichung

Wie kann ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x² + \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} x³ + ... + x^{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist ??

Wie man sieht ist das mein Ansatz die Bernoulli Ungleichung zu beweisen, x größergleich 0 wäre der Beweiß schon erbracht jetzt muss ich das halt noch für -1 < x < 0 schaffen.

lg

18.07.2008, 17:12

tmo

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Du kannst die Bernoullische Ungleichung auch ohne den binomischen Lehrsatz beweisen. Nämlich durch vollständige Induktion über n.

Wenn du das jedoch doch mit deinem Ansatz machen willst, kannst du mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}= 0 \end{eqnarray*}$ nutzen.

18.07.2008, 17:26

Felix

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Ok aber wie komme ich zu dieser Behauptung :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}= 0 \end{eqnarray*}$ ?

Wie würde das mit vollständiger Induktion gehen bzw. (auch wenn es nicht zum Thema passt) wie funktioniert vollständige Induktion?

lg

18.07.2008, 17:27

tmo

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Du kennst doch offensichtlich den binomischen Lehrsatz. Dann berechne damit mal $\begin{eqnarray*} (1-1)^n \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wenn du vollständige Induktion nicht kennst, würde ich einen Schritt weitergehen und mit Hilfe der Differentialrechnung $\begin{eqnarray*} (1+x)^r \geq 1+rx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ sogar für reelle $\begin{eqnarray*} r \geq 1 \end{eqnarray*}$ zeigen. Ist mMn nach das einfachste nach der vollständigen Induktion.

18.07.2008, 18:26

Felix

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Ok aber wie bringt mich das weiter unglücklich

. Jetzt weiß ich zwar wie man zu $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}= 0 \end{eqnarray*}$ kommt aber nicht was mir das bringt .
Ich kann höchstens noch so umformen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n(-1)^k\binom{n}{k}= n - 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Aber x soll ja > -1 nicht -1 sein unglücklich

18.07.2008, 18:36

tmo

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Ja da war ich am Anfang wohl etwas zu optimistisch, das führt ohne weiteres nicht wirklich zum Ziel. Deswegen habe ich ja eine Alternative vorgeschlagen, die auch ohne Induktion funktioniert Augenzwinkern

18.07.2008, 18:49

Felix

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In dieser Form habe ich noch nie differenziert, ich hab ehrlich gesagt wenig Ahnung was ich tut soll unglücklich

.

Außerdem frag ich mich gerade warum die Ungleichung nicht auch für x = -1 gilt ??
die linke Seite wäre dann permanent 0 die rechte wäre 1 - n also auch maximal 0 womit die Ungleichung erfüllt wäre ....

18.07.2008, 18:54

tmo

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Sie gilt auch für x = -1, es hat ja keiner das Gegenteil behauptet.

Ich gebe dir mal eine Anleitung:

Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x) = (1+x)^r-1-rx \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,\infty] \end{eqnarray*}$ und zeige durch eine Art Kurvendiskussion, dass diese Funktion bei x = 0 sein globales Minimum annimmt. Dann folgt $\begin{eqnarray*} f(x) \geq f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

18.07.2008, 19:14

Felix

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Zitat:

Sie gilt auch für x = -1, es hat ja keiner das Gegenteil behauptet.

In meinem Mathe - Buch steht, dass das für x > -1 gilt. Deswegen meine Frage ....

Zitat:

Betrachte auf dem Intervall und zeige durch eine Art Kurvendiskussion, dass diese Funktion bei x = 0 sein globales Minimum annimmt. Dann folgt

Für das Minimum setzte ich die 1. Ableitung 0 : $\begin{eqnarray*} (1+x)^{r-1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann sehe ich das x = 0 ist. Jetzt muss ich aber noch beweisen, dass es wirklich ein Minimum ist : r² > 1 .
Was ist wenn r = 1 ?

Ist das ansonsten richtig ?

lg

18.07.2008, 19:16

tmo

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Zitat:

Original von Felix
In meinem Mathe - Buch steht, dass das für x > -1 gilt. Deswegen meine Frage ....

Wenn man noch 0 als Exponent zulässt, muss man wirklich x > -1 fordern. Aber mir ging es ja gerade um reelle Exponenten größergleich 1.

Ich würde die Kurvendiskussion etwas anders angehen.
Betrachte das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und bestimme so Intervalle, in denen f monoton ist.

20.07.2008, 13:22

Felix

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Zuerstmal entschuldigung für die späte Meldung --> ich bin gestern an keinen Pc gekommen.

Zitat:

Ich würde die Kurvendiskussion etwas anders angehen.
Betrachte das Vorzeichen von und bestimme so Intervalle, in denen f monoton ist.

Heißt das ich hab es falsch gemacht ? Oder einfach nur umständlich ?

Was deinen Vorschlag angeht : Für das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,\infty] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend. Aber inwiefern ist, das richtiger/genauer/einfacher als mein Weg ? Man muss ja trotzdem = 0 setzten um den Extremwert zu bekommen. Wenn ich das richtig verstanden habe erspart man sich nur die zweite Ableitung in dem man die Monotonie betrachtet ??

lg und schon mal vielen Dank für die Hilfe smile

20.07.2008, 14:34

tmo

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Dass man immer gleich 0 setzen muss, um an den Extremwert ranzukommen, ist ein Gerücht aus der Schule Big Laugh

Zitat:

Original von Felix
Für das Minimum setzte ich die 1. Ableitung 0 : $\begin{eqnarray*} (1+x)^{r-1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Also das ist noch richtig. Aber was du danach machst, erschließt sich mir nicht ganz.

Ich meine nicht, dass du die Monotonie von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ , sondern die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmen sollst. Denn das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ hat da doch eine direkte Verbindung zu.

20.07.2008, 16:27

Felix

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Naja vielleicht hab ich falsch abgeleitet aber ich bin auf $\begin{eqnarray*} f'(x)= r(1+x)^{r-1} -r \end{eqnarray*}$ gekommen. Das = 0 gesetzt bringt $\begin{eqnarray*} (1+x)^{r-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich meine nicht, dass du die Monotonie von , sondern die von bestimmen sollst. Denn das Vorzeichen von hat da doch eine direkte Verbindung zu.

Ok, für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ < 0 ist f(x) streng monoton fallend für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ > 0 streng monoton steigend ---> daher (0/0) ist ein Extremwert und "wegen der Reihenfolge fallend/steigend" ein Tiefpunkt.

20.07.2008, 17:05

tmo

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Zitat:

Original von Felix
Ok, für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ < 0 ist f(x) streng monoton fallend für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ > 0 streng monoton steigend ---> daher (0/0) ist ein Extremwert und "wegen der Reihenfolge fallend/steigend" ein Tiefpunkt.

Das kann man so sagen, ich würde es aber noch etwas mehr begründen.

Im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,0] \end{eqnarray*}$ ist f monoton fallend, also gilt für $\begin{eqnarray*} x \in [-1,0) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x < 0: f(x) \geq f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Genauso ist f im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ monoton steigend, also gilt für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x)\geq f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist auch sofort gezeigt, dass es sich um ein globales Minimum handelt. Mit dem Standardkram "Ableitung 0 setzen und evtl mit der zweiten Ableitung auf VZW überprüfen" bestimmt man ja zunächst nur lokale Extrema.

20.07.2008, 17:44

Felix

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Verstehe, ist auch sehr einleuchtend smile

Hast du vielleicht auch noch eine Idee wie ich den Beweis über den binomischen Lehrsatzführen könnte?

lg

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