basis des vektorraums

18.07.2008, 18:04	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
basis des vektorraums Hallo, ich rechne gerade alte klausuren durch und bin auf eine aufgabe gestossen wo ich nicht ganz weiss wie ich hier anfangen soll bzw was ich machen muss. die aufgabe heisst: Bilden die Polynome 2x2 +6x;x2 +5x+1 und 2x+1 eine Basis des Vektorraumes P2 der reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2?
18.07.2008, 18:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn die Bedingung für eine Basis?
18.07.2008, 18:26	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
ehrlich gesagt ich weiss es nicht wirklich ich hab bisher immer nur mit vektoren und matrizen gerechnet, deswegen fehlt mir etwas der durchblick.
18.07.2008, 18:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwo in deinem Skript muss doch die Definition einer Basis eines Vektorraums stehen. Wenn nicht, suchst du halt mal bei wiki. Übrigens rechnest du hier auch mit Vektoren. Sogar eigentlich mit den dir bekannten Vektoren, denn der Vektorraum der Polynome höchsten 2ten Grades kann mit dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ identifiziert werden.
18.07.2008, 18:39	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die definition habe ich gefunden aber so ganz weiterkomme ich damit trotzdem nicht. also wenn die vektoren ein minimales erzeugendensystem, ein maximal linear unabhängiges system von vektoren sind und wenn sich jedes v aus dem vektorraum eindeutig als linearkombination darstellen lässt...dann habe ich eine basis.
18.07.2008, 18:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da is doch schon das Stichwort. linear unabhängig. Ist das hier der Fall?
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18.07.2008, 18:47	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
ich stehe bei dem thema wohl noch etwas am anfang, wie überprüfe ich hier die lineare unabhängigkeit? ich hab zwar hier die rechnung, die sagt mir aber nicht viel: 2x2+6x-2(x2+5x+1)=-4x-2=2(2x+1).
18.07.2008, 19:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn für vektoren a,b,c eines Vektorraums $\begin{eqnarray} a-2b=-2c \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a = 2b-2c \end{eqnarray}$ gilt, was weißt du denn dann bzgl. der linearen (Un)abhängigkeit?
18.07.2008, 19:07	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
über lineare unabhängigkeit, das sich z.b. vektoren nicht durch eine linearkombination darstellen lassen
18.07.2008, 19:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Und offensichtlich lässt sich a hier als Linearkombination von b und c darstellen. Also?
18.07.2008, 19:14	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
in dem fall sind sie linear abhängig
18.07.2008, 19:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Bilden sie dann eine Basis oder nicht?
18.07.2008, 19:18	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
nein da sie linear abhängig sind nicht
18.07.2008, 19:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Womit die Aufgabe gelöst ist
18.07.2008, 19:25	sally84	Auf diesen Beitrag antworten »
eins hab ich aber noch nicht ganz verstanden..vielleicht hab ich eion brett vor dem kopf aber nach welchem schema rechne ich die drei polynome zusammen..also wieso a-2b=2c ? ich komm grad einfach nicht drauf
18.07.2008, 19:27	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht mit einem LGS. Du setzt z.b. mit $\begin{eqnarray} \lambda_1a+\lambda_1b+\lambda_1c=0 \end{eqnarray}$ an und bestimmst dann die Lambdas durch Koeffizentenvergleich.

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