Frage zum Konvergenzradius

19.07.2008, 12:04

Seppel

Frage zum Konvergenzradius

hi,

ich soll den Konvergenzradius von:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k^2+1}{k^3+2}*(x-3)^k \end{eqnarray*}$

bestimmen, nachdem ich es in die Formel eingesetzt hab ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^3+2}{(k+1)^2+1} * \frac{k^2+1}{k^3+2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die eigentliche Frage, wie stelle ich rechnerisch dar das durch das kürzen der Reihe jeweils das k+1 Element übrig bleibt, d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)}{(k+1)} =1 \end{eqnarray*}$

Das seh ich mit dem Auge aber beim Kürzen komme ich darauf nicht. Kann ich das so hinschreiben? Bin mir nicht sicher

Danke für aufschlussreiche Antworten

19.07.2008, 12:25

Mathespezialschüler

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Das ist keine Fourierreihe, sondern eine Potenzreihe!

Zitat:

Original von Seppel
Und jetzt die eigentliche Frage, wie stelle ich rechnerisch dar das durch das kürzen der Reihe jeweils das k+1 Element übrig bleibt

Kürzen der Reihe? Welches $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ -Element? Deine Ausdrucksweise ist irgendwie nicht sehr aufschlussreich.

Erweitere halt den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^5} \end{eqnarray*}$ und lasse dann $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen (Grenzwertsätze).

19.07.2008, 12:44

Seppel

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das ist keine Fourierreihe, sondern eine Potenzreihe!

Sorry konnte ich nicht mehr editieren als ich es bemerkt hatte

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Erweitere halt den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^5} \end{eqnarray*}$ und lasse dann $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen (Grenzwertsätze).

Naja die Reihe unterscheidet sich sowohl im Zähler als auch im Nenner um k+1 Element und daraus folgt

(k+1)/(k+1) = 1

19.07.2008, 12:49

Seppel

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und das sieht man ja bereits durch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{an}{an+1} \end{eqnarray*}$

Kette/Kette+1 = Kette+1

19.07.2008, 12:50

tmo

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Darauf würde ich keine Punkte verteilen, an der Uni sollte man das schon etwas mathematischer begründen.

Entweder eben bei deinem Weg durch den Tipp von MSS (Warum liest du seine Beiträge nicht?) oder mit Cauchy-Hadamard unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n} =1 \end{eqnarray*}$ und dem (naheliegenden) Sandwich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \leq \frac{k^2+1}{k^3+2} \leq \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$

19.07.2008, 13:08

Seppel

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Zitat:

Original von tmo
Darauf würde ich keine Punkte verteilen, an der Uni sollte man das schon etwas mathematischer begründen.

Entweder eben bei deinem Weg durch den Tipp von MSS (Warum liest du seine Beiträge nicht?) oder mit Cauchy-Hadamard unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n} =1 \end{eqnarray*}$ und dem (naheliegenden) Sandwich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k} \leq \frac{k^2+1}{k^3+2} \leq \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$

Es gibt Menschen auf diesem Erdball die mit Mathematik leider ihre Schwierigkeiten haben und das wird nicht gerade besser wenn man über den zweiten Bildungsweg mit einem Professor konfrontiert wird der einem etwas an die Tafel klatscht und 2 Sekunden Zeit für Rückfragen lässt.

Ich habe seinen Beitrag sehr wohl gelesen und lediglich versucht meinen Gedankengänge festzuhalten weil er mich offentsichtlich nicht ganz verstehen konnte..

Weshalb mir aber eine solche Unterstellung zu Teil wurde ist mir gänzlich ein Rätsel...

Nun gut, ich kann mir nicht gerade vorstellen welchen Bruch ich zu erweitern habe, geschweige was mir das bringen würde.

Und wie gesagt was für den Experten trivial ist, muss noch lange nicht für alle trivial sein

19.07.2008, 13:24

tmo

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Es geht doch darum den Grenzwert des Ausdrucks

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^3+2}{(k+1)^2+1} \cdot \frac{k^2+1}{k^3+2} = \frac{(k+1)^3+2}{k^3+2} \cdot \frac{k^2+1}{(k+1)^2+1} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

Und MSS hat dir nun gesagt, du sollst mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^5} \end{eqnarray*}$ erweitern bzw. durch $\begin{eqnarray*} k^5 \end{eqnarray*}$ kürzen. Du kannst nach meiner Umformung auch beim linken Bruch durch $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ und beim rechten durch $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ kürzen, was auf dassselbe hinausläuft. Davor kannst du auch mal die Binome ausmultiplizieren, dann sieht man den Grenzwert nach dem kürzen etwas deutlicher.

Und meine Anspielung in der Klammer ist weniger eine Unterstellung als eine Aufforderung den Beitrag nochmal gründlicher zu lesen. Das habe ich gemacht, weil die Bestimmung eines solchen Grenzwertes (nicht das ursprüngliche Problem der Bestimmung des Konvergenzradius) eigentlich Schulmathematik ist und man deshalb im Hochschulforum erwartet, dass man mit einem solchen Tipp etwas mehr anfangen kann.

19.07.2008, 14:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von Seppel
Und wie gesagt was für den Experten trivial ist, muss noch lange nicht für alle trivial sein

Da du an der Uni bist, sollte es auch für dich trivial sein. Das ist Bruchrechnung - also Mittelstufenstoff.

19.07.2008, 14:45

Seppel

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Zitat:

Original von WebFritzi
Da du an der Uni bist, sollte es auch für dich trivial sein. Das ist Bruchrechnung - also Mittelstufenstoff.

Danke für diesen höchst hilfreichen Kommentar -.-

Ich seh jedenfalls nicht, wie ich aus der Summe kürzen könnte, bzw. hab ich schon etliche Anläufe gehabt und komm nicht weiter...

Und hier habe ich offensichtlich nur meine Zeit verschwendet.

Ich kann vielleicht den Binom vielleicht in Produktschreibweise überführen

und habe ein spekulatives Ergebnis von:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{k^2+4k+3}{k^2+2} \end{eqnarray*}$

aber das bezweifle ich..naja

19.07.2008, 14:47

tmo

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Man kürzt aus Summen nach der Regel: $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis kann nicht stimmen, denn das würde gegen 2 konvergieren.

19.07.2008, 14:49

WebFritzi

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RE: Frage zum Konvergenzradius
Du hast

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^3+2}{k^3+2} \cdot \frac{k^2+1}{(k+1)^2+1}. \end{eqnarray*}$

OK. Betrachte beide Brüche für sich. Multipliziere in beiden erstmal die Klammern aus. Kürze dann den zweiten mit k². Beim ersten kürzt du ähnlich.

19.07.2008, 15:13

Seppel

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RE: Frage zum Konvergenzradius

Zitat:

Original von WebFritzi
OK. Betrachte beide Brüche für sich. Multipliziere in beiden erstmal die Klammern aus. Kürze dann den zweiten mit k². Beim ersten kürzt du ähnlich.

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2+1}{k^3+2}= \frac{k*k}{k*k*k+2}+ \frac{1}{k*k*k+2}= \frac{1}{k+2}+ \frac{1}{k*k*k+2} \end{eqnarray*}$

Ich mach es immer schon so, aber offentsichtlich kam das während meiner Schulzeit viel zu kurz, weshalb ich mich mit solchen trivialitäten abmühen muss....

Die Rechnung ist unfug und das bereits im rechten Bruch... geschockt

19.07.2008, 15:16

WebFritzi

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RE: Frage zum Konvergenzradius

Zitat:

Original von Seppel
Die Rechnung ist unfug

Ja, und zwar kompletter Unfug. Fragt sich auch, warum du überhaupt diesen Unfug postest. "Aus Summen kürzen nur die Dummen" heißt es... Ich glaube auch nicht, dass daran nur die Schule schuld ist.

Außerdem hast du dir meinen Beitrag nicht ordentlich durchgelesen. Du hast ja nicht einmal mit dem richtigen Bruch angefangen.

19.07.2008, 15:24

Seppel

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RE: Frage zum Konvergenzradius

Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, und zwar kompletter Unfug. Fragt sich auch, warum du überhaupt diesen Unfug postest. "Aus Summen kürzen nur die Dummen" heißt es... Ich glaube auch nicht, dass daran nur die Schule schuld ist.

Außerdem hast du dir meinen Beitrag nicht ordentlich durchgelesen. Du hast ja nicht einmal mit dem richtigen Bruch angefangen.

Das ist der ausgehende Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{k^2+1}{k^3+2}}{\frac{(k+1)^2+1}{(k+1)^3+2}} \end{eqnarray*}$

Und die Umwandlung in den einfachen Bruch ist ja offentsichtlich nicht das was du mir hier als Bruch gibst

19.07.2008, 16:37

WebFritzi

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19.07.2008, 17:25

Leopold

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Um jemanden mit Fragen zum Ergebnis zu führen, bedarf es bei diesem gewisser Vorkenntnisse. Jetzt ist es zwar richtig, daß es sich bei der Umformung dieses Terms um Schulstoff handelt. Seppel ist aber wohl nicht der einzige Schüler auf dieser Welt, an dem die Bruchrechnung völlig vorbeigegangen ist. Für jemanden, der Mathematik mit Leidenschaft betreibt, schwer verständlich: Die Mehrheit der Schüler versteht die Bruchrechnung nicht, vor allem, wenn da auch noch Variablen dabei sind.
Ich halte es deshalb für sinnvoll, die Aufgabe vollständig vorzurechnen. Dann kann Seppel dazu Fragen stellen und versuchen, ähnliche Beispiele selbständig durchzuarbeiten.

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2 + 1}{k^3 + 2} \cdot \frac{(k+1)^3 + 2}{(k+1)^2 + 1} = \frac{\left( k^2 + 1 \right) \left( k^3 + 3 k^2 + 3k + 3 \right)}{\left( k^3 + 2 \right) \left( k^2 + 2k + 2 \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{k^5 + 3k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 3k + 3}{k^5 + 2k^4 + 2k^3 + 2k^2 + 4k + 4} = \frac{1 + \frac{3}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{6}{k^3} + \frac{3}{k^4} + \frac{3}{k^5}}{1 + \frac{2}{k} + \frac{2}{k^2} + \frac{2}{k^3} + \frac{4}{k^4} + \frac{4}{k^5}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann man den Limes für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ ablesen. Natürlich geht es viel schneller, wenn man anders gruppiert, wie tmo es vorgeschlagen hat. Auch sieht man, wenn man Erfahrung hat, daß es zur Grenzwertbestimmung gar nicht nötig ist, alles vollständig auszumultiplizieren, da es nur auf die höchsten Potenzen ankommt. Vielleicht kann sich Seppel bei ähnlichen Beispielen einmal Gedanken dazu machen ...

19.07.2008, 18:16

Seppel

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Danke Leopold,

deine Antwort hat mir sehr geholfen....
Das konnte ich sowohl nachvollziehen als auch mittlerweile anwenden....

Und das ist für die Prüfungsvorbereitung essentiell

Vielen Dank nochmals Freude

19.07.2008, 18:29

WebFritzi

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War klar, dass keine Fragen mehr kommen.

Ich glaube nicht, dass deine Komplettlösung hier so gut war, Leopold. Seppel hat sich ja noch nicht einmal die Mühe gemacht, die Beiträge ordentlich zu lesen.

19.07.2008, 20:11

Seppel

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Zitat:

Original von WebFritzi
War klar, dass keine Fragen mehr kommen.

Ich glaube nicht, dass deine Komplettlösung hier so gut war, Leopold. Seppel hat sich ja noch nicht einmal die Mühe gemacht, die Beiträge ordentlich zu lesen.

Nach Leopolds Posting wusste ich erst wie Ihr das gemeint habt.
Folglich hatte ich lediglich nach mehreren Stunden durch dieses Postings einen Lerneffekt....

Dieser Lerneffekt half mir weitere Aufgaben die in die selbe Richtung gingen selbstständig zu lösen....

Deine Argumentation verstehe ich nicht, sie hat mir nichts gebracht da ich es nicht verstanden hatte wie es gemeint war.

Und Lesen impliziert nicht zwangsläufig Verständnis !

19.07.2008, 20:58

Bjoern1982

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Zitat:

Und Lesen impliziert nicht zwangsläufig Verständnis !

Und genau deshalb ist der Sinn eines Forums zu FRAGEN, wenn etwas unklar ist.
Wie oft soll WebFritzi das jetzt noch sagen ?

Denk einfach das nächste Mal dran - wenn du dich nicht meldest, geht man davon aus, dass alles verstanden wurde. Es reisst dir hier keiner den Kopf ab, egal wieviele Fragen du stellst Augenzwinkern

Gruß Björn

19.07.2008, 22:13

Seppel

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Und genau deshalb ist der Sinn eines Forums zu FRAGEN, wenn etwas unklar ist.
Wie oft soll WebFritzi das jetzt noch sagen ?

Denk einfach das nächste Mal dran - wenn du dich nicht meldest, geht man davon aus, dass alles verstanden wurde. Es reisst dir hier keiner den Kopf ab, egal wieviele Fragen du stellst Augenzwinkern

Gruß Björn

Der Ton macht die Musik und ich fühle mich hierbei nicht sonderlich wohl wenn

a) Auf Leuten herumgehackt wird, die einem wirklich das Verständnis vermittelt haben
b) Man ständig einen harten Ton hört in Richtung "lies richtig"
c) Man indirekt als doof hingestellt wird, weil essentielle Mathematikgrundlagen zu kurz gekommen sind.
d) Man aus Beispielen oftmals mehr lernt als aus dargelegten Aussagen. So lerne ich jede Programmiersprache durch Analyse, Lektüre und Anwendung

19.07.2008, 22:45

Bjoern1982

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Wenn du dich wirklich einmal unwohl fühlst frage einfach ganz neutral ob sich vielleicht noch jemand anderes dazu äußern könnte, da du nicht mit dem Vermittlungsstil des gegenwärtigen Antworters klar kommst. Der- oder diejenige wird sich dann bestimmt auch nicht aufdrängen, wenn seine Hilfe nicht weiter erwünscht ist und in meinen Augen ist das auch kein ungewöhnlicher Wunsch, der jetzt irgendeinen kränken sollte.

P.S.

Das ist jetzt allgemein gemeint - nicht gegen dich WebFritzi Augenzwinkern

20.07.2008, 16:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Seppel
a) Auf Leuten herumgehackt wird, die einem wirklich das Verständnis vermittelt haben

Niemand hat auf Leopold rumgehackt. Ich habe ihn (als einziger) kritisiert. Ich denke, damit kommt er klar. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Seppel
b) Man ständig einen harten Ton hört in Richtung "lies richtig"

Das ist bei dir scheinbar notwendig. Man versucht zu helfen und bekommt dann mit, dass der Fragesteller die Beiträge nur halbherzig liest. Das ist schon ärgerlich.

Zitat:

Original von Seppel
c) Man indirekt als doof hingestellt wird, weil essentielle Mathematikgrundlagen zu kurz gekommen sind.

Das ist deine Interpretation, und sie ist leider falsch. Keiner hat dich als doof hingestellt. Wer keine Bruchrechnung kann, ist nicht zwangsläufig doof, sondern auf diesem Gebiet schlicht ungebildet. Gerade im Hochschulforum erwartet man diese Bildung eigentlich von den Fragenden.

Zitat:

Original von Seppel
d) Man aus Beispielen oftmals mehr lernt als aus dargelegten Aussagen. So lerne ich jede Programmiersprache durch Analyse, Lektüre und Anwendung

Jeder lernt anders. Aber das Boardprinzip lässt Komplettlösungen nur in Ausnahmefällen zu. Und das hat auch seinen Grund. Offenbar sind viele Boardmitglieder der Meinung, dass man die Dinge am besten versteht, wenn man selber darauf gekommen ist. Ich für meinen Teil z.B. glaube, dass du nach Leopolds Posting die Bruchrechnung nicht besser beherrschst als vorher.

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