Beweis für "n über k"

25.04.2006, 16:58

w17rb

Beweis für "n über k"

Hallo!
Ich habe Schwierigkeiten mit einem Beweis.
Und zwar soll ich zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen k,n mit k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir ist immerhin schon deutlich, dass es wirklich so ist.
Aber ich hab nicht so wirklich eine Idee wie ich es anstellen soll.

Meine Idee war irgendwie eine Induktion. Aber bloß wie?

Vielleicht hat jemand von euch eine Idee?

Liebe Grüße

ANNA

25.04.2006, 16:59

JochenX

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wie sieht eure Definition für n über k genau aus?

edit: für die beiden mir einfallenden "Definitionen" ist es ziemlich leicht.

25.04.2006, 17:04

Dual Space

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In deinem Fall gilt definitionsgemäß:

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Schreib das mal für $\begin{eqnarray*} \binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$ hin. Augenzwinkern

Edit: Sorry LOED .... zu spät gesehen!

HöMa? verwirrt

*verschoben*

25.04.2006, 18:25

w17rb

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ohje! Mag sein, dass es sehr leicht ist, aber ich hab keinen Plan...komm mir auch schon ein wenig blöd vor.

Also...meinst du:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)! (n-(n-k))!} \end{eqnarray*}$ ??

Aber was soll ich damit anfangen??

Verzweifelte Grüße

ANNA

25.04.2006, 18:28

JochenX

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was ist denn $\begin{eqnarray*} (n-(n-k))! \end{eqnarray*}$ ?? Augenzwinkern

vergleiche jetzt mal (n über k) mit (n über n-k).

25.04.2006, 18:36

w17rb

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??? ich hab keine Ahnung worauf du hinaus möchtest... :-(

25.04.2006, 18:36

Daktari

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Ich vermute mal, dass dein Problem beim "Umwandeln" des Binomialkoeffizienten in einen Bruch liegt.

"ziemlich salopp" gesagt steht im

ZÄHLER:
"das obere" mit Fakultät

NENNER
["das untere" mit Fakultät ] * ["das obere" - "das untere" mit Fakultät.]

Nach Definition ist
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Probier doch nun mal $\begin{eqnarray*} \binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$ umzuschreiben

INFO: $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-k)! \end{eqnarray*}$ sind relle Zahlen, für dese gilt das Kommutativgesetz(d.h. du darfst sie vertauschen

25.04.2006, 18:38

JochenX

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Zitat:

Original von w17rb
??? ich hab keine Ahnung worauf du hinaus möchtest... :-(

$\begin{eqnarray*} n-(n-k)=n-n+k=k \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

das ganze auch mit ! dahinter....

25.04.2006, 18:50

w17rb

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Ohhhh ich verstehe...aber dieses Umformen zeigt dann schon die absolute Allgemeingültigkeit?

25.04.2006, 18:55