Frage zu inhomogener DGL

25.04.2006, 14:59

SkYfiGhTeR

Frage zu inhomogener DGL

Hallo,

es geht um folgende DGL:

$\begin{eqnarray*} y'' + y = cos x \end{eqnarray*}$

Zuerst bestimmt man ja hier mal die homogene Lösung:

$\begin{eqnarray*} y'' + y = 0 \end{eqnarray*}$ mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} y=e^{\lambda*x} \end{eqnarray*}$

So, das führt dann zu: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}=\pm i \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} y=e^{\pm i*x} => y_{H}=a * sin x + b * cos x \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage, wie man von $\begin{eqnarray*} y=e^{\pm i*x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y_{H}=a*sin x + b * cos x \end{eqnarray*}$ kommt.

Normalerweise wäre es doch so:

$\begin{eqnarray*} y_{1}=e^{-i*x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{2}=e^{i*x} \end{eqnarray*}$

Die beide muss ich addieren um die homogene Lösung zu erhalten.

Wenn ich nun beide addiere, müsste ich doch erhalten: $\begin{eqnarray*} e^{-i*x} + e^{i*x} = 2*cosx \end{eqnarray*}$

Denn: $\begin{eqnarray*} e^{i*x}=cos x + i* sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-i*x}=cos x - i* sin x \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus für Erklärungen. *g*

25.04.2006, 16:10

quarague

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wenn man es richtig macht, kommt man auf
y=a*cos(x) + b*sin(x)
und das liegt an der Identität
e^(it)=cos(t)+i*sin(t)
real und imagniärteil einer komplexen Lösung sind jeweils reelle Lösungen

25.04.2006, 16:15

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Genau, man nimmt im Lösungsraum praktisch einen Basiswechsel vor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix} = A\cdot \begin{pmatrix} e^{ix} \\ e^{-ix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[1ex] -\frac{i}{2} & \frac{i}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wegen der Regularität von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist das statthaft.

@SkYfiGhTeR

Das waren aber ein bisschen viel Schreibfehler im Beitrag... Augenzwinkern

25.04.2006, 16:24

SkYfiGhTeR

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Hi,

danke für die Antworten.

Ich hab die beiden Schreibfehler die mir aufgefallen sind, mal korrigiert.

Aber irgendwie hab ich's immer noch nicht...ich habe ja in meinem Beitrag geschrieben wie wir das damals bei den komplexen Zahlen (Kreisfunktion) gelöst hatten.

Da war es so:

$\begin{eqnarray*} e^{i*x}=cos x + i* sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-i*x}=cos x - i* sin x \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} e^{-i*x} + e^{i*x} = 2*cosx \end{eqnarray*}$

Aber nun kommt das nicht raus, wenn ich da bei der Aufgabe beide Lösungen addiere zur homogenen Lösung.

Ich hab's noch nicht ganz raus bzw. verstanden wieso jetzt genau. Ist das immer so der Fall oder wieso haben wir das z.B. damals bei der Kreisfunktion und den Sachen nicht so gemacht, sondern 2 cos (x) als Ergebnis notiert?

25.04.2006, 16:28

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Aber nun kommt das nicht raus, wenn ich da bei der Aufgabe beide Lösungen addiere zur homogenen Lösung.

Was kommt wo nicht raus? Ich kann dir nicht folgen. unglücklich

P.S.: Ein weiterer wichtiger Schreibfehler war deine homogene Glg.: Die lautet $\begin{eqnarray*} y'' + y = 0 \end{eqnarray*}$ statt des geschriebenen $\begin{eqnarray*} y'' + y' = 0 \end{eqnarray*}$ .

25.04.2006, 16:49

SkYfiGhTeR

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Hi,

stimmt...aber die aller erste Zeile der DGL war korrekt mit y'' + y = 0 - jetzt stimmt aber auch die andere Zeile mit der DGL.

Hm...ich weiß nicht wie ich es noch ausdrücken könnte.

Also mir geht es um das: $\begin{eqnarray*} y=e^{\pm i*x} \end{eqnarray*}$

Das führt zu: $\begin{eqnarray*} y_{H}=a*sin x + b * cos x \end{eqnarray*}$

Laut heute aus dem Unterricht halt...ich frage mich jetzt, wie komme ich darauf. Also das ist meine Frage.

- - - - - - -

Ich wollte es mir irgendwie über etwas, das ich bei mir im Heft über Kreisfunktionen bei komplexe Zahlen gefunden habe, erklären.

Da hatten wir aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} e^{i*b} = cos b + i* sin b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-i*b} = cos (-b) + i * sin (-b) = cos b - i * sin b \end{eqnarray*}$

Wenn ich die beiden nun zusammenzähle:

$\begin{eqnarray*} e^{i*b}+e^{-i*b}=2 * cos b \end{eqnarray*}$

Das entspricht doch nicht dem Ergebnis von der homogenen Lösung der DGL oben und da wurde doch exakt das gleiche ausgerechnet. (?)

25.04.2006, 16:58

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Der Lösungsraum einer linearen homogenen Dgl. ist ein Vektorraum. Wie kannst du erwarten, dass bei einem hier vorliegenden zweidimensionalen Lösungsraum mit der Basis $\begin{eqnarray*} e^{ix},e^{-ix} \end{eqnarray*}$ durch Bildung einer Linearkombination $\begin{eqnarray*} e^{ix}+e^{-ix} \end{eqnarray*}$ dann wieder der gesamte Lösungraum herauskommt??? Du brauchst dann noch eine zweite, von der ersten linear unabhängige Lösung. Und die kriegst du z.B. wie von mir oben erwähnt über $\begin{eqnarray*} \frac{i}{2}(-e^{ix}+e^{-ix}) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ .

25.04.2006, 17:45

SkYfiGhTeR

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Hm...ok alles klar - klingt recht logisch. *g*

Kann ich es mir z.B. aber so auch klar machen bzw. es direkt "sehen" (?):

DGL: $\begin{eqnarray*} y''+y=0 \end{eqnarray*}$

Homogene Lösung: $\begin{eqnarray*} y_{H}=k_{1}*e^{i-x} + k_{2}*e^{-i*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=k_{1}*(cos x + i* sin x) + k_{2} * (cos x - i* sin x) = k_{1}*cos x + k_{1} * i * sin x + k_{2} * cos x - k_{2} * i * sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= cos x (k_{1}+k_{2}) + i * sin x (k_{1}-k_{2}) = k * (c_{1} * cos x + c_{2} * sin x) = a * sin x + b * cos x \end{eqnarray*}$

25.04.2006, 18:47

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Na, wenn du's so besser siehst. Augenzwinkern

25.04.2006, 18:54

SkYfiGhTeR

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Alles klar - dankeschön. Augenzwinkern

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