Markow-Kette

25.04.2006, 20:57

TM.SRX

Markow-Kette

Hallo!

Ich hab mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
Gegeben ist ein Glücksrad mit den Feldern 1, 2 und 5. Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Feldern werden durch eine Markow-Kette beschrieben. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl drei mal hintereinander erscheint. Die Übergangswahrscheinlichkeit von 1 nach 1 beträgt 0,6, von 2 nach 2 0,3 und von 5 nach 5 0,1.
Ist es richtig, wenn man 0,6^3+0,3^3+0,1^3 rechnet?

25.04.2006, 21:29

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Nein, das ist i.a. falsch. Du kannst die Frage nur beantworten, wenn du die Startverteilung für 1,2,5 kennst.

Alternativ kann natürlich der "eingeschwungene" Zustand gemeint sein, d.h., die stationäre Verteilung der Markov-Kette. Um die zu berechnen, reichen aber die von dir gemachten Angaben nicht.

25.04.2006, 21:52

TM.SRX

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Wir hatten in der Schule auch mal eine ähnliche Aufgabe gerechnet, da ging es um die Übertragung von Punkten und Strichen beim Morsen. Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit werden z.B. Punkte als Punkte oder Punkte als Striche übertragen. Die Übergangsmatrix sah da so aus:

Punkt Strich
Punkt (0,96 0,04)
Strich (0,06 0,94)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei drei Übertragungen das Zeichen nicht ändert haben wir da 0,96^3+0,94^3-(0,96*0,94)^3 gerechnet. Müsste man das vielleicht bei dem Glücksrad vielleicht so ähnlich rechnen?

26.04.2006, 12:25

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Nochmal als Erklärung:

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... erstes Feld ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , für k=1,2,5
$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ... die drei Felder sind gleich

Dann kann man aus deinen Ausgaben ablesen $\begin{eqnarray*} P(D \bigm| A_1)=0.6^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(D \bigm| A_2)=0.3^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(D \bigm| A_5)=0.1^2 \end{eqnarray*}$ .

Du suchst nun aber $\begin{eqnarray*} P(D) \end{eqnarray*}$ , was gemäß

$\begin{eqnarray*} P(D) = P(A_1)P(D \bigm| A_1) + P(A_2)P(D \bigm| A_2) + P(A_5)P(D \bigm| A_5) \end{eqnarray*}$

berechnet werden kann - aber dazu brauchst du die Startverteilung $\begin{eqnarray*} [P(A_1),P(A_2),P(A_5)] \end{eqnarray*}$ , da führt kein Weg dran vorbei. Mit "eingeschwungener Zustand" habe ich gemeint, dass du für diese Startverteilung die stationäre Verteilung (so es die gibt) der Markov_Kette einsetzt. Aber die musst du eben erstmal kennen, und die isti.a. eben nicht $\begin{eqnarray*} P(A_1)=0.6,P(A_2)=0.3,P(A_5)=0.1 \end{eqnarray*}$ . Ist übrigens purer Zufall (oder Heimtücke?), dass die Summe der drei Verweilwahrscheinlichkeiten gerade gleich 1 ist - das muss nämlich überhaupt nicht sein, wie man an deinem zweiten Beispiel sieht:

Zitat:

Original von TM.SRX
Punkt Strich
Punkt (0,96 0,04)
Strich (0,06 0,94)

Hier ist die Summe der Verweilwahrscheinlichkeiten gleich 0,96+0,94=1,9.

EDIT:

Zitat:

Original von TM.SRX
Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei drei Übertragungen das Zeichen nicht ändert haben wir da 0,96^3+0,94^3-(0,96*0,94)^3 gerechnet.

Das halte ich für völlig falsch. Mit der stationären Verteilung und obigen Rechnungen kommt man auf $\begin{eqnarray*} 0.9064 \end{eqnarray*}$ , während nach deiner völlig unbegründeten Rechnung $\begin{eqnarray*} 0.9805 \end{eqnarray*}$ rauskommt - ein Wert der höher als die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten 0.96² für drei Punkte als auch 0.94² für drei Striche ist, und das ist dann wohl offensichtlich falsch.

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