Wieso Lineare Algebra vor Algebra |
| 20.07.2008, 10:34 | noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wieso Lineare Algebra vor Algebra weshalb wird eigentlich die Lineare Algebra I und II vor der Algebra gelehrt? Grüsse |
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| 20.07.2008, 10:42 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Algebra ist doch um einiges schwieriger als lineare Algebra. Und das willst du jetzt Studienanfängern zumuten? Lineare Algebra hat zumal den Vorteil das man es teilweise noch aus der Schule kennt. Außerdem werden in LA viele Begriffe der Algebra schon einmal eingeführt(Gruppe, Körper etc.). |
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| 20.07.2008, 11:57 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip ist es egal. Algebra ist zuerst abstrakter, und es gibt weniger anschauliche Beispiele, als in der linearen Algebtra, aber im Prinzip ist es kein Hindernis, die Grundzüge der Algebra schon im ersten Semester zu bringen (und ein großer Teil der LA-Kurse bringt ja auch am Anfang ein wenig über Gruppen, Ringe, Körper usw.). In beiden Gebieten hängt das Verständnis eher vom eigenen Ehrgeiz und Verstand sowie der Qualität des Profs ab, als von benötigten Vorkenntnissen. Aber es gibt eben auch eine Grenze an Stoff, den man dem durchschnittlichen Erstsemestler, der sich erstmal ins Studium finden muss, zumuten kann. die Kombination Analysis + Lineare Algebra + Seminare + Übungszettel + Klausuren + Nebenfächer reicht in der Regel schon, um mindestens die Hälfte der Leute zum verzweifeln und abbrechen zu bringen, also wozu noch mehr drücken? Wer schon Vorkenntnisse hat, den hindert ja meistens niemand dran, den Algebraschein schon zu machen. (und ich kenne auch viele, die das gemacht haben, bzw. von Anfang an Vorlesungen zu weiter fortgeschrittenen Themen gehört haben, weil sie es zeitmäßig bewältigen konnten, und es sie interessiert hat.) Die erste Stelle, an der es in der Algebra bequem ist, Lineare Algebra zu beherrschen, ist die Interpretation bzw. Definition eines Erweiterungskörpers und des Grades der Körpererweiterung als Vektorraum einer bestimmten Dimension. Aber auch das kriegt man sicher irgendwie anders hin, oder mit einer ganz kurzen Einführung in Vektorräume. Bis dahin wird aber in den meisten Algebrakursen, die ich kenne, jede Menge Gruppen- und Ringtheorie behandelt, d.h. beim parallel hören weiß man dann spätestens auch was ein Vektorraum ist. |
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| 20.07.2008, 12:32 | KarlKlößchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, also Lineare Algebra (LinA) und Algebra haben nicht wirklich viel gemeinsam, zwar den selben Namen, aber ansonsten doch sehr wenig. Unser Professor sagte mal, dass je älter man wird, um so einfacher wird liineare Algebra, und dies stimmt auch. LinA ist eigentlich nur rechnen. Man bekommt irgendwelche Gleichungssysteme, muss daraus ne Matrix erstellen bzw. bekommt direkt die Matrix, diese muss man dann irgendwie umformen (z.B. in Zeilenstufenform) und kann daraus etwas ablesen, z.B. die Lösungen des Gleichungssystems, ob die Matrix invertierbar ist usw. Ist im Prinzip alles nur rechnen. Algebra ist da ganz anders. In LinA, als auch meistens in Analysis I, macht man eine kurze Exkursion in die Algebra und behandelt Körper, aber diese Exkursion dauert oft nur 2 Vorlesungen. In der Algebra rechnet man mit konkreten Zahlen sehr selten. Da geht alles über Definitionen und wie man daraus etwas anderes folgern kann. Ein Beispiel wäre, dass man zeigt, dass jeder endliche Integritätsring auch ein Kröper ist (musst du jetzt nicht verstehen 
)Lineare Algebra hat relativ wenig mit Algebra zu tun, wie gesagt, in LinA rechnest du, hast dort Matrizen aus den reellen Zahlen und musst die irgendwie umformen. In Algebra hast du irgendwelche komischen Definitionen und musst daraus zeigen, dass irgendetwas anderes gilt, allerdings hast du da eher selten mit konkreten Zahlen etwas zu tun. Ein Beispiel wäre, wenn du eine Menge an Zahlen hast (einen Ring mit 1), bei der für alle Zahlen x aus der Menge gilt: x*x = x, dann kann man Zeigen, dass für die Zahlen z.B. x+x=0 gilt, oder dass a*b = b*a (das der Ring kommutativ ist). Bei solchen Beweisen kann man sich nicht eine Menge/Ring aussuchen, bei dem es gilt, sondern man muss es für alle Ringe zeigen. Die Algebra ist, zumindest in meinen Augen, deutlich schwieriger als die lineare Algebra. Da aber Erstsemester es nicht gewohnt sind so abstrakt zu denken, sondern an dem in der Schule gelernten festzuhalten, ist es sinnvoller, zuerst Lineare Algebra zu hören. Wie gesagt, in LinA (zumindest in dem Modul) rechnet man nur, und dieses kennt man zu genüge aus der Schule, zwar hat man da weniger mit Matrizen u.ä. zu tun, aber dennoch hat man da seine gewohnten Rechenoperationen. Ein weiterer Grund dürfte evt. sein, dass man LinA oft für Analysis II braucht, da man dort für gewöhnlich Differentialgleichungen behandelt, und dort man das Wissen aus LinA gut gebrauchen kann. Ein Aufbau von 'Algebra + Analysis I im 1. Sem.' und dann 'LinA + Analysis II im 2. Sem.' wäre dann evt. etwas unvorteilhaft. Vielleicht hilft dir dies weiter. PS: Lineare Algebra hat kaum etwas mit der linearen Algebra (Analytische Geometrie) zu tun, die man in der Schule kennen gelernt hat und Algebra hat nichts mit der Algebra aus der Schule zu tun. |
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| 20.07.2008, 15:15 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldige, aber das ist Blödsinn. Lineare Algebra ist nicht "nur rechnen", und in den allermeisten Kursen wird das auch so vermittelt. Zumindest wenn es um ein Universitäts-Mathestudium (unter welchem Namen auch immer) geht. Sicher gibt es verschiedene Möglichkeiten, einen Kurs zu gestalten, darunter sehr abstrakte, und sehr auf den "rechnerischen" Aspekt konzentrierte, aber die Grundlage der Linearen Algebra ist eben nicht das lösen linearer Gleichungssysteme über IR, sondern der Begriff der Linearen Abbildung von Vektorräumen. Wenn ein Prof das in seinem Kurs nicht besonders betont, behindert er seine Studenten geradezu, indem er ihnen nicht die nötigen Grundlagen für die kommenden Semester vermittelt. |
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| 20.07.2008, 17:05 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tomtomtomtomtomtom hat recht. Ich weiß ja nicht, KarlKlößchen, wo du LinA gehört hast. Aber so wie du es beschreibst, wird die LinA z.B. für Ingenieure gelehrt. Schau mal in ein ordentliches Buch zur linearen Algebra. Da wirst du nicht viele Rechnungen finden. |
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| 20.07.2008, 17:44 | KarlKlößchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, also ich fand schon, dass LinA I fast nur rechnen war, wenn man es mal mit z.B. Algebra (Ring/Körpertheorien) vergleicht. Wir hatten die ersten zwei Vorlesungen einen kurzen Exkurs in Körpertheorien. Danach dann: - Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen darstellen, Zeilen-Stufenform, Lösbarkeitskriterium und Lösungsraum ablesen. - Vektorräume, lineare Unabhänigkeit, Basis, Unterräume, affine Unterräume - Determinaten, Invertierbarkeit von Matrizen - Lineare Abbildungen, Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit, Kriterien und sowie entsprechende Basen finden - Euklidische Vektorräume (Skalarprodukt & Co.), Orthonormalbasen (Gram-Schmidt-Verfahren) Themen wie Smith-Normalform, Weierstraß-Normalform, Minimalpolynome von Matrizen u.ä. werden dann erst später behandelt. Also ich fand schon, dass LinA relativ viel rechnen war, wenn man es mal mit z.B. Algebra vergleicht. Gut, manche Theorien hatten man schon, z.B. über die Dimension von Vektorräumen, aber ansonsten hat man doch schon sehr viel gerechnet (z.B. Lösungsräume bestimmen, Determinanten berechnen, Inverse Matrizen berechnen, Eigenwerte bestimme und Matrix in Diagonalform bringen, sofern möglich, mit entsprechenden Basen, Basis orthonormalisieren usw.) Und nein, ich war nicht bei den Ingenieure drin
Gut, in Bücher stehen selten Rechnungen drin, was auch einfach keinen Sinn macht, aber dort werden die Verfahren beschrieben mit denen man rechnet. Auf den Übungszettel muss man dann doch, meines erachtens, relativ viel rechnen.
Ab dort ist auch wieder viel Rechnen bei. Typischen Themen sind doch Eigenwerte und Eigenräume und wie man lin. Abbildungen/Matrizen diagonalisiert/trigonalisiert. Dort rechnet man auch viel. Charakteristisches Polynom bilden, Nullstellen bestimmen (sofern möglich), dann algebraische und geometrische Vielfachheit überprüfen und ggf. die Matrix diagonalisiern und Übergangsbasen bilden. |
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| 20.07.2008, 18:03 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Was die Übungsaufgaben angeht gebe ich dir recht. Aber darum ging es ja eigentlich nicht. Das ist in Ana I auch nicht viel anders. |
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| 20.07.2008, 18:07 | KarlKlößchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich nochmal ^^: Als kleine Ergänzung: Natürlich ist LinA nicht nur rechnen, und als Erstsemester wird einen die Veranstaltung ganz schön fordern, am im Vergleich zu späteren Vorlesungen ist dort schon sehr viel Rechnen enthalten (oder irgendwelche Verfahren amwenden, um zu testen, ob eine Matrix invertierbar, diagonalisierbar oder positiv definit ist und was man daraus dann schließen kann). Also wie gesagt, ich find Algebra deutlich abstrakter und Algebra hat auch deutlich weniger mit dem herkömmlichen Rechnen zu tun als LinA. |
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| 20.07.2008, 21:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis zu einem gewissen Grad würde ich KarlKlößchen schon recht geben. Er hat natürlich zugespitzt und provokant formuliert. Von ein paar Abschweifungen abgesehen geht es in Linearer Algebra letztlich wirklich nur um lineare Terme (Linearformen), sei es zur Definition von Abbildungen (lineare Abbildungen/Matrizen), sei es zum Lösen von Gleichungen (lineare Gleichungssysteme). Das Ganze wird dann in einen theoretischen und abstrakten Rahmen eingebettet (Vektorraumbegriff). Dieses Vorgehen bereitet dann schön auf die Abstraktion in der allgemeinen Algebra vor. |
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