LGS mit mehreren Lösungen

25.04.2006, 23:08

Mystique

LGS mit mehreren Lösungen

Hallo,

ich suche einen Lösungsansatz für die folgende Aufgabe:
Ermitteln Sie die Werte a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die das LGS keine Lösung, genau eine Lösung oder endlich viele Lösungen hat.

2x - ay + 4z = b
x - y + 3z = 4
3x + y - 2z = 3

Wäre für jeden Hinweis und/oder Lösungsweg dankbar.

LG,
Mystique

25.04.2006, 23:10

rain

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erstmal ganz normal anfangen mit dem gauss-schritt,am besten die variable x elimieren!

25.04.2006, 23:28

Ben Sisko

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RE: LGS mit mehreren Lösungen

Zitat:

Original von Mystique
für die das LGS keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

Das rote hast du sicherlich vergessen Augenzwinkern

25.04.2006, 23:29

Mystique

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Danke erstmal für die schnelle Antwort. Also "ganz normal" versuchen auf die Dreiecksform zu bringen? Dann würde ich es so versuchen:
Eliminieren an der 2.Gleichung, also (1/3 * 3. Gleichung - 2. Gleichung)

2x -ay 4z = b
0 -2/3y -11/3y = -3
3x y -2z = 3

Bin ich auf dem richtigen Weg?

25.04.2006, 23:40

Mystique

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@Ben Sisko: Oops, du hast natürlich recht, muss unendlich heissen. Kann es leider nicht editieren, da ich nicht registriert war, habe ich jetzt aber nachgeholt.

26.04.2006, 14:18

Mystique

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Habe das jetzt mal weiter versucht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2x & -ay & 4z \\x & y & 3z \\3x & y & -2z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\4 \\3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2x & -ay & 4z \\0 & -\frac{2}{3}y & -\frac{11}{3}z \\3x & y & -2z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\-3 \\3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2x & -ay & 4z \\0 & -\frac{2}{3}y & -\frac{11}{3}z \\0 & -\frac{3}{2}ay * (-\frac{2}{3}y) & 8z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\-3 \\\frac{3}{2}b-3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2x & -ay & 4z \\0 & -\frac{2}{3}y & -\frac{11}{3}z \\0 & 0 & -\frac{3}{2}ay * (-\frac{35}{3}z)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\-3 \\\frac{9}{2}ay-\frac{3}{2}b-3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist ... unglücklich

Wie würde es denn dann weitergehen?

26.04.2006, 14:48

Bjoern1982

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Nach deinem ersten Post müsste in der zweiten Zeile deines LGS -y statt +y stehen. Was stimmt denn nun?

Desweiteren scheinst du das irgendwie falsch aufzulösen...

In deinem ersten LGS würde ich z.B. mit der ersten Zeile arbeiten:

Also I-2II und 3I-2III.

Damit erzeust du schonmal zwei untereinander stehende Nullen.

Wie du da auf die ganzen Brüche kommst, verstehe ich nicht...

Gruß Björn

26.04.2006, 15:02

Mystique

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Danke für die Antwort Björn.

Zitat:

Nach deinem ersten Post müsste in der zweiten Zeile deines LGS -y statt +y stehen. Was stimmt denn nun?

Ja, dass muss natürlich -y sein. Ich fang am besten nochmal von vorne an...

Zitat:

In deinem ersten LGS würde ich z.B. mit der ersten Zeile arbeiten:
Also I-2II und 3I-2III.

Sorry, das verstehe ich nicht ganz. Was bedeutet z.B. 2II?

26.04.2006, 15:07

Bjoern1982

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I-2II

Damit meine ich, dass man von der ersten Gleichung (I) das zweifache der zweiten Gleichung (also 2*II) abziehen soll. Dadurch entsteht ja an der ersten Stelle der zweiten Gleichung eine 0.

Analog 3*I-2*III

Jetzt klarer?

26.04.2006, 15:20

Mystique

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Aha, jetzt verstehe ich was du meinst. Danke.
Kommt 0.5*I - II an der 2.Zeile nicht auf das gleiche hinaus? So habe ich das jedenfalls bisher immer gemacht. Das erklärt wohl zumindest die unerklärlichen Brüche. smile

26.04.2006, 15:47

Bjoern1982

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Wenn du schon mit Brüchen multiplizierst würde ich dir empfehlen die Zeile am Ende noch mit dem Nenner (ggf Hauptnenner) zu multiplizieren, um unschöne, zeitaufwändigere Rechnungen zu vermeiden.

Ach ja, und denke immer daran die a's und b's immer in deine Berechnungen mit einzubeziehen.

Kommst du denn jetzt weiter?

Gruß Björn

26.04.2006, 16:29

Mystique

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Einigermaßen... Habe nun x,y,z der Übersichtlichkeit halber rausgezogen. Nach zwei Eliminationsschritten komme ich dann auf folgendes Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2 & -a & 4 \\0 & -a+2 & -2 \\0 & -3a-2 & 16\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\b-8 \\3b-6\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Da hört's dann aber schon wieder auf bei mir. Wie eliminiere ich denn nun die -3a-2? Habe mich sicher wieder irgendwo verrechnet.

26.04.2006, 17:01

Bjoern1982

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Also ich habe dasselbe raus.

Durch (-3a-2)*II - (-a+2)*III bekommst du die letzte null hin.
Das ist jetzt natürlich eine ganz schöne Rechnerei.

Im nachhinein ist mir aufgefallen, dass man am Anfang lieber die zwei Nullen in der ersten und zweiten Zeile anstatt in der zweiten und dritten Zeile erzeugt hätte. Dann wäre es etwas einfacher zu rechnen gewesen...

Aber so gehts auf jeden Fall auch.

Am Ende musst du dir eben überlegen, wann genau eine ganze Nullzeile enstehen kann (unendlich viele Lösungen), wann eine halbe Nullzeile ensteht (keine Lösung) oder eben keine Nullzeile ensteht.

Gruß Björn

26.04.2006, 17:50

Mystique

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Hey, super. smile

Vielen Dank für deine Hilfe!

Nach langer Umformerei, komme ich dann auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2 & -a & 4 \\0 & -a+2 & -2 \\0 & 0 & 4a+9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b \\b-8 \\b+7\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mal angenommen das sei korrekt so (geht dann eher ums Prinzip), dann würde ich das so begründen:

Keine Lösung wenn $\begin{eqnarray*} 4a+9=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b+7\neq0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} a=-\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq-7 \end{eqnarray*}$

Genau eine Lösung, wenn $\begin{eqnarray*} a\neq-\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Unendlich viele Lösungen, wenn $\begin{eqnarray*} a=-\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-7 \end{eqnarray*}$

26.04.2006, 18:17

Bjoern1982

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Also meine dritte Zeile lautet:

0 / 0 / 22a-28 / -30a-8b+28

Vielleicht habe ich mich auch verrechnet, aber an der letzten Stelle im LGS sollte auf jeden Fall noch ein Term mit a vorkommen.

Deine Vorgehensweise zu den unterschiedlichen Lösungstypen ist aber perfekt Freude

Gruß Björn

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