Gauß-Elimination mit und ohne Pivotisierung

Neue Frage »

vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Elimination mit und ohne Pivotisierung
Hi ihr lieben!

In Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf folgende Frage gestoßen:

Will man das Gleichungssystem



in der Arithmetik lösen, muss man da bereits die Einträge der Matirx A und b umschreiben?

Dann würde sich doch für gerade Null ergeben, oder?

Dann macht doch aber auch Gauß-Elimination mit oder ohne Pivotisierung kein Sinn???

Also: muss man generell zuvor seine Einträge in die jeweiligen Maschinenzahlen umwandeln?

Danke für eure Antworten!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß-Elimination mit und ohne Pivotisierung
Ich bin da gerade nicht so drin, aber ist das nicht im Grunde ein Beispiel für folgende Überlegung:

LG Wink

Zitat:

In den Überlegungen von (4b) wurde bislang nur festgestellt, dass man bei einer regulären Matrix A immer einen "Tauschpartner" für den Fall einer Null auf der Diagonale findet.

Steht einem nicht nur ein "Tauschpartner" zur Verfügung, so stellt sich die Frage nach der "besten" Wahl. Den geringsten Aufwand wird wohl eine Suche nach dem ersten von 0 verschiedenen Eintrag in der betreffenden Spalte unterhalb der Diagonale machen. Ist diese "blinde" Wahl jedoch numerisch sinnvoll?


Durch die Implementierung erhält man eine Zerlegung und löst das LGS der Form:



mit einer unbekannten Matrix E, für die folgende Abschätzung gilt (Golub & VanLoan[1996, S. 106]):



m: Maschinengenauigkeit

n: Ordnung von A, also ist A eine (n x n) Matrix

|.|: Matrix der betragsmäßigen Einträgen


Somit ist es erstrebenswert die Einträge von möglichst klein zu halten.


2 LR-Zerlegungen:









Im ersten Fall treten also, im Gegensatz zum Zweiten, sehr große Werte auf. Man kann nun zeigen, dass allgemein für sehr kleine Diagonalelemente in der Matrix die Einträge in den Matrizen L und R sehr groß werden. Somit sollte man Kehrschluss die Diagonalelemente durch vertauschen möglichst groß wählen. Somit ergeben sich:



weitere Pivotsuchstrategien:

Spaltenpivotsuche
Unter den Elementen der j-ten Spalte wähle man ein dem Betrage nach größtes als neues Diagonalelement.
Suchaufwand:

Totale Pivotsuche
Unter den Elementen wähle man ein dem Betrag nach größtes als neues Diagonalelement aus. Hier müssen dann ggf. Zeilen und Spalten getauscht werden.
Suchaufwand:


Bei größeren Matrizen kann es sinnvoll sein, nur so lange zu suchen, bis ein Schwellenwert s überschritten wird.



Mit diesem Wissen kann man nun festhalten, dass auch im Falle der Existenz einer LR-Zerlegung ohne Pivotisierung es sinnvoll seien kann, selbige durchzuführen.


Hierzu ein Beispiel:




Exakte Lösung




Ohne Pivotisierung










Mit Spalten-Pivotisierung







Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »