Ausgleichungskurve bestimmen

20.07.2008, 19:01	mammoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichungskurve bestimmen Hallo, Folgendes Problem: Ich habe Messwerte mit exponentiellen Verlauf und würde gerne dazu eine bestanpassende Funktion (nach der Methode der kleinsten Quadr.) finden. Meine Funktion: $\begin{eqnarray} $y_{i}=a_{0}e^{-\frac{x_{i}}{a_{1}}}$ \end{eqnarray}$ Mit einem linearen Ansatz (Transformation $\begin{eqnarray} $\ln y_{i}= \ln a_{0}-\frac{x_{i}}{a_{1}}$ \end{eqnarray}$ und den darauffolgenden Substitutionen $\begin{eqnarray} $u_{i} = \ln y_{i}$ \end{eqnarray}$ usw. und anschließender Rücktransform.) hab ich bereits $\begin{eqnarray} $a_{0}$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $a_{1}$ \end{eqnarray}$ aus den Normalgleichungen bestimmen können. Jetzt möcht ich jedoch direkt $\begin{eqnarray} $a_{0}$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $a_{1}$ \end{eqnarray}$ aus der zu Beginn gegebenen Funktion bekommen. Dabei komm ich auf diese Normalgleichungen: $\begin{eqnarray} $\frac{\partial S}{\partial a_{0}} = 2\sum_{i=1}^N(a_{0}e^{-\frac{x_{i}}{a_{1}}}-y_{i})e^{-\frac{x_{i}}{a_{1}}}=0$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\frac{\partial S}{\partial a_{1}} = 2 \sum_{i=1}^N(a_{0}e^{-\frac{x_{i}}{a_{1}}}-y_{i})e^{-\frac{x_{i}}{a_{1}}}x_{i}\frac{a_{0}}{a_{1}^2}=0$ \end{eqnarray}$ Sobald ich beide Gleichungen logarithmiere um $\begin{eqnarray} $a_{1}$ \end{eqnarray}$ von dem Exponenten wegzubekommen und um umzuformen, ergeben beide Gleichungen dasselbe: $\begin{eqnarray} $N\ln a_{0} - \sum_{i=1}^N \frac{x_{i}}{a_{1}} = \sum_{i=1}^N \ln y_{i} \end{eqnarray}$ Also die Ableitung nach $\begin{eqnarray} $a_{0}$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $a_{1}$ \end{eqnarray}$ ergeben dieselbe Gleichung (oder hab ich mich verrechnet)!?? Kennt jemand von euch einen (numerischen) Lösungsansatz für die Bestimmung der Koeffizienten $\begin{eqnarray} $a_{0}$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $a_{1}$ \end{eqnarray}$ ? Hilfe Bitte
23.07.2008, 09:52	mammoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem gelöst! Mit Hilfe des Gauss-Newton Verfahrens! (In Matlab die Funktion lsqcurvefit bzw. lsqnonlin)

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