Probleme mit der Definition von Eigenwerten

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blub85 Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit der Definition von Eigenwerten
Hallo!

Wir haben in der Vorlesung wie folgte Eigenwerte definiert:

Zitat:
Ein Körperelement heißt Eigenwert von , falls , d.h. falls eim Vektor ohne existiert mit



Die zweite Bedingung (nach dem d.h.) verstehe ich, allerdings die erste nicht ganz.

Wie habe ich mir denn vorzustellen??
Die Definition vom Kern hatten wir schon, die ist mir auch geläufig...

könnte jemand mal ein beispiel für den Term machen???

Ich kann mir darunter leider nichts sinnvolles vorstellen...

danke!!
marodeur Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme mit der Definition von Eigenwerten
du hast dein dies kannst du auch schreiben als

ergibt umgestellt



oder auch



und dann ist k ein Eigenwert von f, wenn die Menge der möglichen (der Kern von f-k*id) nicht nur das Nullelement ist.


wenn man zb f als matrixwertige abbildung betrachtet dann ist es analog zu oben
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke für deine antwort! hat mir sehr weitergeholfen...

jetzt stellt sich mir aber noch ne frage: unglücklich

und zwar steht bei uns im skript:

Zitat:
hat genau dann den Eigenwert 0, wenn , d.h. wenn f nicht injektiv ist.


Das mit der Injektivität ist mir klar...

nur der rest leider nicht...

ich versuch das mal zu erklären, ihr könnt mein verständnis bitte an den jeweiligen stellen korrigieren. also:

ich betrachte und entnehme dem satz, dass ist. also folgere ich daraus, dass es ausser 0 noch andere gibt, für die gilt...

diese wären dann doch auch eigenwerte von f ?!

danke für die hilfe!!

P.S.: hab am donnerstag klausur.. geschockt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blub85
diese wären dann doch auch eigenwerte von f ?!

Nein. Null wäre der Eigenwert und v ein Eigenvektor. smile
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber warum???? 0 iat doch immer ein Eigenverktor, nicht wahr??

und wie in meinem letzten Post beschrieben kann ichdoch daraus folgern, dass es noch andere Eigenwerte gibt?!

warum nicht??

wäre nett, wenn mir einer das mal kurz erklären könnte-. danke!1 Gott
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blub85
ja, aber warum???? 0 iat doch immer ein Eigenverktor, nicht wahr??

Nein. Per Definition ist der Nullvektor kein Eigenvektor.

Zitat:
Original von blub85
und wie in meinem letzten Post beschrieben kann ichdoch daraus folgern, dass es noch andere Eigenwerte gibt?!

Wenn der Kern der Abbildung f mehr als den Nullvektor enthält, dann (und nur dann) hat die Abbildung den Eigenwert 0 und als Eigenraum den Kern(f). Ob es noch weitere Eigenwerte gibt, läßt sich nicht sagen.
 
 
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

ist das auch per definition "ausgemacht" oder kann man das auch logisch erklären?!

verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer linearen Abbildung f ist immer f(0) = 0. Insbesondere gilt also immer f(0) = k * 0 für jedes beliebige k. Der Nullvektor wäre also "Eigenvektor" zu jedem beliebigen Eigenwert. Und weil das keine besonderen Erkenntnisse liefert und also nicht besonders interessant ist, ist man auf der Suche nach "richtigen" Eigenvektoren. Von daher schließt man den Nullvektor als Eigenvektor aus.
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie will das mir alles noch nicht ganz in den kopf rein unglücklich

Gehen wir nochmal zu einem Beispiel:

Zitat:
Die Matrix hat das charakteristische Polynom , also 0 als einzigen Eigenvektor.




Wir haben ja vorhin gesagt, dass f genau dann (und nur dann) den Eigenwert 0 hat, wenn gilt..

Jetz tkommt mir grad ne Idee... wenn ich jetzt zB habe, dann ist f(v) = 0.. dies gilt für alle Vektoren

Also besteht der Kern von f aus unendlich vielen Vektoren, somit ist der einzige Einheitswert die 0.



hab ich recht? smile
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

noch kurz ne frage...

kann ich am charakt. Polynom x^2 schon erkennen, dass die Funktion als Eigenwert nur die 0 hat??

vielleicht daran, dass gilt:

<=> ?!?

danke!!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise bestimmt man doch so die Eigenwerte, durch das charakteristische Polynom.

Deine Folgerung das es nur den Eigenwert 0 gibt weil der Ker unendlich viele Elemente enthält ist falsch. Da kannst du dir leicht ein Gegenbeispiel konstruieren(über einem unendlichen Körper hat ein nicht trivialer Kern immer unendlich viele Elemente)
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

wie könnte man hier dann begründen, dass die Funktion nur den Eigenwert 0 hat??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

genauso wie du es gemacht hast,
sprich du hast eine Darstellungsmatrix von f, davon berechnest du das char. Polynom. Wenn dann 0 die einzige Nullstelle davon ist dann hat f nur den EW 0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blub85
Also besteht der Kern von f aus unendlich vielen Vektoren, somit ist der einzige Einheitswert die 0.

Wie kiste schon sagte, ist das falsch. Erstens muß es "Eigenwert" und nicht "Einheitswert" heißen und zweitens ist eine Matrix mit nicht-trivialem Kern und zwei verschiedenen Eigenwerten.

Also nochmal: wenn der Kern nicht trivial ist, dann ist 0 ein Eigenwert. Möglicherweise gibt es aber noch weitere Eigenwerte.
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