Cauchy-Schwarz ungleichung in R^n

26.04.2006, 18:46

Klaus5

Cauchy-Schwarz ungleichung in R^n

Hi leute,

ich habe hier eine Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu beweisen. Ich komme aber leider absolut auf keinen Ansatz. Könntet ihr mir da bitte helfen?

Beweisen Sie die Ungleichung von Cauchy-Schwarz: Für x, y Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mid x \cdot y\mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \mid y \mid \end{eqnarray*}$

Ich wüßte nur, wie ich den BEweis für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu machen habe. Aber das kann ich ja bestimmt nicht dafür analog anwenden, oder?

Vielen Dank für jede Hilfe die ihr mir geben könnt

26.04.2006, 18:48

Dual Space

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RE: Cauchy-Schwarz ungleichung in R^n
Für Elemente aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ musst du aber schon dazu sagen, welche Norm du denn verwenden willst. Die Betragsstriche sind da nicht mehr eindeutig.

26.04.2006, 18:51

Klaus5

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Achso, ja.
Es wir von einer euklidischen Norm gesprochen.

Tut mir leid

26.04.2006, 18:58

Dual Space

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Hier steht der Beweis: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz#Beweis

Wenn du dazu fragen hast ... her damit! Augenzwinkern

26.04.2006, 19:15

Klaus5

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tut mir leid, wenn ich jetzt was blödes sage. aber ich habe mir diese seite auch schon vorher angeschaut. aber wo soll da der passende beweis zu meiner oben genannten ungleichung sein. das ist doch dort irgendwie anders oder?

Oder etwa nicht?

26.04.2006, 19:20

Dual Space

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Ich nehme mal an, dass der Punkt bei $\begin{eqnarray*} x\cdot y \end{eqnarray*}$ oben in der Ungleichung das Skalarprodukt sein soll. Wenn dem so ist, musst du auch bei "Beweis für Skalarprodukt" schauen (auf der oben verlinkten Seite).

26.04.2006, 22:54

Klaus5

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ja aber ist

$\begin{eqnarray*} \mid <x,y> \mid \leq \mid \mid x \mid \mid \mid \mid y \mid \mid \end{eqnarray*}$

das selbe wie ich oben geschrieben habe? Denn im ersten Teil dieser Ungleichung ist ein Komma zwischen x und y . Dann ist da auch noch ein Doppeltes betragszeichen.

26.04.2006, 23:08

Klaus5

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das kann dann doch nicht der zu meiner ungleichung gehörige beweis sein, oder?

26.04.2006, 23:59

Ben Sisko

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Das <x,y> ist eine andere Schreibweise für das Skalarprodukt. Und die "doppelten Betragsstriche" stehen für die Norm, in deinem Fall die euklidische.
Was das ist, solltest du dir vorher anschauen, damit du weißt, was man da macht.

Gruß vom Ben

27.04.2006, 10:48

Dual Space

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Klaus: Was Ben meint ist folgendes:
Offenbar habt ihr vorher immer im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gerechnet. Wie dort die Multiplikation funktioniert, dürfte jedem klar sein. Nun erhöht sich aber mit der Raumdimension ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ) auch die Dimension der Raumelemente.
Jetzt werden scheinbar einfache Dinge wie z.B. die Multiplikation problematisch, wenn man sich nicht genau überlegt, was man haben möchte.

Üblicherweise steht der Punkt für das Skalarprodukt und es gilt:

$\begin{eqnarray*} x\cdot y:=\langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^n x_iy_i,\qquad\text{für }x,y\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Mir gefällt oft die rechte Schreibweise besser, vorallem wenn man in Funktionenräumen rechnet.

Im Gegensatz zur Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wo das Produkt die selbe Dimension hat wie die Faktoren, ist das Skalarprodukt eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder allgemein in den Skalenkörper, d.h. die Dimension von Produkt und Fakltor unterscheidet sich im allgemeinen. Daher genügt es um ein Skalarprodukt die Betragsstriche zu setzen.

Fazit: $\begin{eqnarray*} \|x\cdot y\|=|x\cdot y|=|\langle x,y\rangle| \end{eqnarray*}$

Übrigens kann es manchmal auch sinnvoll sein, eine andere Art der Multiplikation zu verwenden (z.B. komponentenweise, Kreuzprodukt,...)

So und jetzt noch einen kleinen Vortrag über Normen:
Ganz allgemein ist eine Norm nichts weiter als eine Funktion, die Elementen eines beliebigen Raumes eindeutig eine relle Zahl zuordnet. Für diese Zuordnung gibt es natürlich viele (sogar unendlich viele) Möglichkeiten, wie man z.B. an der p-Norm erkennt:

$\begin{eqnarray*} \|x\|_p:=\sqrt[p]{|x_1|^p+\dots+|x_n|^p},\quad x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_p \end{eqnarray*}$ ist für beliebiges $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{N}\cup\{+\infty\} \end{eqnarray*}$ eine Norm. Die euklidische Norm, die du oben angesprochen hast, erhältst du für p=2. Übrigens kannst du dir in endlich-dimensionalen Raümen, wie z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ aussuchen welche Norm du nehmen willst, denn hier sind alle Normen äquivalent.

27.04.2006, 13:39

Trazom

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Denk doch mal an die geometrische Defintion des Skalarproduktes.

27.04.2006, 13:45

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Zitat:

Original von Trazom
Denk doch mal an die geometrische Defintion des Skalarproduktes.

Wen meinst du damit? verwirrt

Nunja ... man kann das Skalarprodukt zwar auch geometrisch interpretieren und es ist durchaus sinnvoll sich das mal zu überlegen, aber ob es hinsichtlich des obigen Beweises etwas bringt wage ich zu bezweifeln.

27.04.2006, 13:50

Trazom

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Klar hilft das

$\begin{eqnarray*} |x \cdot y| = |x||y| \cos ( \theta ) \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ der eingeschlossene Winkel ist.

27.04.2006, 14:38

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Vorsicht Trazom. Der Cosinus aus deiner Gleichung ist hier nichts anders, als eine Interpretation von $\begin{eqnarray*} \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|} \end{eqnarray*}$ . Um aber sicher zu stellen, dass dieser Ausdruck wohldefiniert ist, benötigt man schon die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Siehe hierfür auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Innenproduk...Norm_und_Winkel

MaW: Die geometrische Deutung des Skalarprodukt bedarf der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Daher kann man sie damit nicht beweisen.

@Trazom: Ich habe deinen letzten Beitrag mal entfernt. Interjektionen wie "Aha" sind wirklich keinen Post wert.

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