Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel

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26.04.2006, 21:25	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel Moin! Ich hab schon versucht diese Aufgabe zu lösen, aber irgendwie komme ich nicht wirklich klar damit. Für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , a,b $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0, ist $\begin{eqnarray} \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ (a+b) Meine erste Idee war, das ganze zu quadrieren um die Wurzel weg zu bekommen. also: ab $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a+b)^{2} \end{eqnarray}$ dann hab ich das ganze noch ein wenig umgeformt, aber irgendwie scheint mir das ganze von Vorn bis Hinten keinen Sinn zu machen. Kann mir vielleicht jemand weiter helfen? Danke schon einmal Lena
26.04.2006, 21:27	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
26.04.2006, 21:30	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
hm? aber was soll ich damit anfangen?
26.04.2006, 21:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Form kannst du deine Ungleichung bringen, wenn du ausmultiplizierst etc.
26.04.2006, 21:36	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
hm. Langsam glaub ich, ich verstehe meine ganze Aufgabe nicht. Wieso muss ich zeigen, dass das größer/gleich 0 ist??
26.04.2006, 21:37	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du nicht zeigen, das ist doch trivial. Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv bzw. größer gleich Null. Damit hättest du aber deine Ungleichung bewiesen.
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26.04.2006, 21:38	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ich versteht nicht wie du das meinst.
26.04.2006, 22:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das Quadrieren der Ungleichung ist unnötig, denn wenn man die Behauptung umformt, d.h., die $\begin{eqnarray} \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ auf die andere Seite bringt: $\begin{eqnarray} 0 \leq \frac{1}{2}(a+b)-\sqrt{ab} = \frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b) = \frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \end{eqnarray}$ gelangt man bereits zu einer wahren Aussage.
26.04.2006, 22:04	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst dich hinterher sonstwohin beißen, aber gut, du hast es so gewollt $\begin{eqnarray} ab \leq \frac{1}{4}(a+b)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{4}(a+b)^2 -ab = \ldots = (a-b)^2 \end{eqnarray}$ EDIT: Das ist etwas schlampig aufgeschrieben, ich benutze bei den Umformungen, dass links eine Null steht Gruß, therisen
26.04.2006, 22:38	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
hm...also ich kann das nachvollziehen was du gerechnet hast. aber irgendwie stellt sich bei mir nicht das AHA ein :-( was hab ich von der sache mit der 0?
26.04.2006, 22:50	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dir bitte erstmal diesen Sachverhalt klar, den therisen ganz am Anfang geschrieben hat: $\begin{eqnarray} (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray}$ (du bekommst für alle a,b aus R eine Relle Zahl raus, (ob nun positiv oder negativ ist egal, da quadriert wird. somit ist der ganze Ausdruck immer größer 0 oder gleich null für a=b) Dies ist Offentsichtlich Korrekt. nun formst du um, wie Arthur ausführlich und therisen nicht so ausführlich hingeschrieben haben. [quadratische ergänzung .. klingelts?] Da links ne null steht, bekommste den vorFaktor auch leicht weg, ist aber völlig unnötig, da du ab dem zusammenfassen in eine Binomische Formel eine einsichtige korrekte ungleichung hast.
26.04.2006, 23:47	wilde13	Auf diesen Beitrag antworten »
OH...ich glaub ich habs endlich verstanden. Jetzt nur noch eine letzte frage. Anstelle mit 2 zu erweitern, könnte ich doch auch mit 2 multiplizieren und würde damit auch noch das 1/2 wegbekommen, oder? Dankeschön für eure hilfe!!!
27.04.2006, 11:55	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst mit jeder positiven reellen Zahl durchmultiplizieren
27.04.2006, 20:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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