Nachweise von Graph der Wendepunkt hat!

26.04.2006, 21:48

Fraggaa

Nachweise von Graph der Wendepunkt hat!

Hi

hab ma wieder eine Frage:

Ich hab hier in einer Belegarbeit die Aufgabe:
"Weisen sie rechnerisch nach, dass es genau einen Graph Gt gibt, der den Wendepunkt Pw (2/ ft(2) ) hat!"

Die Ausgangsfunktion ist:

$\begin{eqnarray*} ft(x)= \frac{1}{8}x^{3} + tx^{2} + (t- \frac{3}{2})x \end{eqnarray*}$

Ich brauche ja dann die 2. Ableitung, weils ja um Wendepunkt geht, die ist:

$\begin{eqnarray*} ft''(x)= \frac{3}{4}x+2t \end{eqnarray*}$

Aber ich hab jetz keine Ahnung wie ich weiter machen soll! Ich bitte um Hilfe Gott

mfg David

26.04.2006, 22:02

Ari

Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Wendepunkt gilt:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\\f'''(x)\neq0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ wird der Punkt als Sattelpunkt bezeichnet.

Also, die zweite Ableitung ist soweit richtig! Du musst die zweite Ableitung noch nullsetzen und nach x auflösen, um die Position des Wendepunktes zu bekommen. Für den y-Wert des Punktes setzt du das Ergebnis für x in die Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} ft(x) \end{eqnarray*}$ ein. So gehst du vor, um die Position eines Wendepunktes aller Kurven der Schar zu bestimmen.

In deinem Fall hast du den x-Wert schon gegeben, nämlich 2. Also setzt du die nach x aufgelöste Nullstelle der zweiten Ableitung mit 2 gleich und löst nach t auf. Für dieses t hat die Kurve $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ bei x=2 einen Wendepunkt. Nun wieder den y-Wert berechnen. Dann hast du deinen Nachweis, probiers mal!

edit: ach, das mit dem \\ in LaTeX muss ich noch üben o.O
edit2: guten morgen ~.- verschrieben

26.04.2006, 22:33

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

also

2. Ableitung 0 setzen

-> $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{3}{4}x+2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2t = \frac{3}{4}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=- \frac{8}{3}t \end{eqnarray*}$

das jetzt mit den gegebenen X-wert des Punktes, also 2 gleichsetzen?

$\begin{eqnarray*} 2 =- \frac{8}{3}t \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} t=- \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

und das is jetz der Beweis oder wie?

26.04.2006, 22:36

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Dass ist der Beweis, das es einen Wendepunkt, wenn überhaupt bei x= -8t/3 geben kann.

Der Beweis dass es wirklich ein Wendepunkt ist erfolgt über die dritte Ableitung.

denn ein Wendepunkt hat die Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0\; \wedge\; f'''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

26.04.2006, 22:40

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber in der Aufgabe soll ich beweisen das x=2 also punkt P(2/ ft(2) ) ein Wendepunkt ist...

Und mein Lehrer meinte, wenn die Aufgabe so gestellt ist, gibt es auch diesen Punkt, doch ich soll ihm den Beweis zeigen!
geschockt

*verwirrt*

26.04.2006, 22:43

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich!
Du hast ja bissher auch alles richtig gemacht, nur musst du halt noch zeigen dass es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt. Dazu musst du, wie nun schon von Ari und mir darauf hingewiesen wurde, noch die Dritte Ableitung an der Stelle 2 Prüfen.

26.04.2006, 22:48

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

ja also

$\begin{eqnarray*} f'''(2)= \frac{3}{4} \neq 0 \end{eqnarray*}$ also ist ein Wendepunkt bei der Stelle x=2 aber da ist doch nich bewiesen, das der y-Wert des Wendepunkts bei ft(2) liegt?!

26.04.2006, 22:55

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ schreibt sich \neq

Zitat:

[...] aber da ist doch nich bewiesen, das der y-Wert des Wendepunkts bei ft(2) liegt?!

Ein Wendepunkt einer Funktion muss zwangsläufig auf der Funktion liegen.

Eine Stelle der Funktion hat immer die Koordinaten: $\begin{eqnarray*} P(x;f(x)) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht das Problem.
Nachdem du nun gezeigt hast, dass es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt, musst du nun zeigen, dass es auch nur eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_t(x) \end{eqnarray*}$ gibt, die genau an dem Punkt einen Wendepunkt hat [auf gut deutsch:"dass es nicht zwei unterschiedliche t gibt, die W(2,f(2)) liefern]. Und wie Machst du das?

26.04.2006, 23:02

Fraggaa

Auf diesen Beitrag antworten »

keine Ahnung , sorry!

27.04.2006, 13:18

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dass es nicht zwei unterschiedliche t gibt, die W(2,f(2)) liefern

Wenn ich schon DIESEN hinweis bring ..

Dann sag ichs dir halt:
Du setzt mit zwei verschiedenen t in f an: $\begin{eqnarray*} f_{t_1}(2) =f_{t_2}(2) \; \mbox{ mit $t_1 \neq t_2$ } \end{eqnarray*}$

nun recheste des aus. wenn du am schluss auf einen widerspruch stößt $\begin{eqnarray*} t_1=t_2 \end{eqnarray*}$ z.b., was ja nach vorraussetzung nicht stimmt, dann ist gezeigt das es nicht gehen kann.

27.04.2006, 13:20

Pr0

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Stelle ist nur x und nicht (x / f(x)). Das wäre eine Pkt.

Neue Frage »

Antworten »

Nachweise von Graph der Wendepunkt hat!

Verwandte Themen