3 kleine Fragen bezügliche Mengenlehre

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Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »
3 kleine Fragen bezügliche Mengenlehre
Hallo!

Also wie es der Titel schon sagt, habe ich 3 kleine Fragen zu der Mengenlehre. Hierbei existieren 2 Verständigungsfragen und eine, wo ich keinerlei Informationen gefunden habe:


1)
Also bei den Mengenschreibweisen gibt es ja verschiedene Wege, wie man eine Menge beschreiben kann.
Ich bin hierbei auf den Punkt "beschreibende Mengenschreibweise" vor einiger Zeit gestolpert. Heute aber kam in meinem Kopf eine Frage auf und die lautet:

Ein Beispiel einer beschreibenden Mengenschreibweise sehe folgendermaßen aus:
M = {x | x Element N ^ x > 2}

Würde man dieses Beispiel als Wörter ausschreiben, würde folgendes stehen:
M = {x | x ist Element der Natürlichen Zahlen und größer als 2}

man kann dies aber auch als einen deutschen Satz aufschreiben:
Die Menge M sei die Menge aller x, für die gilt: X ist Element der Natürlichen Zahlen und größer als 2

So, nun endlich meine Frage:
Nennt man all diese Varianten:
M = {x | x Element N ^ x > 2}
M = {x | x ist Element der Natürlichen Zahlen und größer als 2}
Die Menge M sei die Menge aller x, für die gilt: X ist Element der Natürlichen Zahlen und größer als 2

eine beschreibende Mengenschreibweise oder hat z.B. die dritte Variante nicht den Namen beschreibende Mengenschreibweise(BM), sondern einen anderen???


2)
Auf wikipedia stieß ich auf ein Beispiel, welches wieder mit der BM zu tun hat.
Es sei folgende Menge gegeben:
M = {rot, gelb, blau}

Dies wurde nun in eine BM umgewandelt und es entstand folgendes:
M = {x | x=blau oder x=gelb oder x=rot}

Was mich irritiert, ist, wieso steht hier "oder"?? Müsste das nicht "und" heißen, weil so würde es mir sagen, dass die Menge nur aus einem der Elemente, welche in der BM dargestellt wird, besteht.

3)
Es gibt eine Mengenschreibweise, welche:
Induktive Definition
heißt. Auf Wikipedia gibt es keinen Artikel dazu und per google fand ich auch kaum Definitionen. Hier in dem Forum gab es auch nur 1 Artikel, welcher mir leider nicht half.
Hat jemand dafür einen guten Link für mich oder braucht man diese Schreibweise eh so gut wie nie. Das würde erklären, wieso es diesen Artikel bei wikipedia nicht gibt. verwirrt

________________________

So, das waren die 3 kleinen Fragen. Zwar wieder viel Text, aber so bin ich halt. Big Laugh


MFG Majin_Clodan
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, bei der 1) nennt man die alle beschreibend. Einmal halt mehr mathematisch und einmal mehr deutsch Augenzwinkern

Zur 2)

Wenn da "und" stände, wäre die Menge leer. Denn es sind genau diejenigen x in der Menge, die die Bedingung nach dem | erfüllen. Und ein x kann ja nicht rot und gelb sein. Sondern nur rot oder gelb.

Zur 3)

Die Menge natürlichen Zahlen kann man z.b. induktiv definieren:

Es ist . Wenn ist, dann ist auch .
Aber wirklich oft wirst du das glaube ich nicht brauchen.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
1) Mir wäre das total schnuppe, bei allen drei Schreibweisen weiß ich was gemeint ist. Wobei die 3. Variante etwas unschön ist, kurze Schreibweisen erhöhen oft die Verständlichkeit

2) Nein, das oder ist da richtig.
Alles was hinter | steht, ist ne Bedingung, die für die Elemente in der Menge gelten muss.
Wenn da nun x=rot und x=gelb und x=blau stehen würde, müssten die Elemente der Menge die Farbe rot und gelb und blau, sprich, die Menge wäre leer.
Steht da aber x=rot oder x=gelb, dann wäre dort rot und gelb in der Menge enthalten, denn für rot trifft die Bedingung 'x=rot' zu und für gelb die Bedingung 'x=gelb'.

3) Induktive Definitionen sind manchmal ganz hilfreich, werden häufiger in der theoretischen Informatik verwendet.

Das Prinzip ist so:

Du hast eine Menge M:
Induktionsanfang: In der Menge M ist die 3 und die 11 enthalten.
Induktionsvorraussetzung: Sei x ein Element aus der Menge M.
Induktionsschritt: Wenn x in der Menge ist, dann ist auch x*x in der Menge enthalten.

Wie sieht nun die Menge aus:
Diese enthält 3 und 11 (nach Induktionsanfang), dann aber auch 3*3 und 11*11.
Da diese aber 3*3=9 enthält, ist auch 9*9 in M enthalten.
Da 9*9 enthalten ist, also auch 81*81 usw.
Das selbe für 11: 121*121 ist enthalten usw.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zu 1)

Die dritte Variante heißt natürlich auch beschreibende Schreibweise. Dass man keine Symbole benutzt, sondern ganze Sätze formuliert, spielt überhaupt keine Rolle.

Es gibt nur zwei Formen, eine Menge anzugeben: Aufzählend (aufzählen aller Elemente) und beschreibend.


Zu 2)

Würde man die Eigenschaft mit "und" formulieren, dann wäre M die Menge aller Objekte, die zugleich die Farben Rot, Gelb und Blau sind. Solche Objekte gibt es natürlich nicht. (M wäre die leere Menge)

Bei "oder" hingegen erhält man genau die Farben Rot, Gelb und Blau.


Von der "induktiven Definition" einer Menge habe ich noch nichts gehört...



//Hoppla, das ist ja ein Hilfe-Overkill! Big Laugh
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3 kleine Fragen bezügliche Mengenlehre
Zitat:
Original von Majin_Clodan
3)
Es gibt eine Mengenschreibweise, welche:
Induktive Definition
heißt. Auf Wikipedia gibt es keinen Artikel dazu . . .


Hier ist was brauchbares:

http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome#Peano-Axiome


edit tmo: Link angepasst. Jetzt kann man auch draufklicken.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir öffnet sich dieser Link nicht, wenn man draufklickt, falls das bei euch auch so ist, kopiert den Namen des Links und fügt ihn in die Befehlszeile ein, dann müsste es klappen.

Edit: Danke tmo.
 
 
Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Einen Herzlichen Dank für die Hilfe an:
tmo
42
Jacques

Das mit der induktiven Definition hat, wie ich es an dem Beispiel von "42" sah, etwas mit der (vollständigen) Induktion zu tun. Davon lass ich erstmal die Finger, aber an deinem Beispiel sah ich, dass es vielleicht nicht so schwer ist, aber vielleicht doch, wenn ich mich mehr damit beschäftige, aber wie gesagt, erst später. smile

Der Link, den du, outschool, mir gabst, konnte mir nicht wirklich weiterhelfen. Aber trotzdem danke für die Hilfe. smile


MFG Majin_Clodan
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also eine induktive Definition von Mengen findet man in der Mathematik eher selten, mir ist bisher im Studium keine über den Weg gelaufen.

Aber wie gesagt, in der theoretischen Informatik findet man soetwas häufiger. Wenn man z.B. die Menge aller logischen Formeln definieren will, dann sieht dies so aus:


Induktionsanfang: Alle Prädikate (Prädikate haben den Wert wahr oder falsch) sind in der Menge enthalten.
Induktionsvorraussetzung: Seien F und G in der Menge enthalten.
Induktionsschritt: Dann sind auch [...] in der Menge enthalten.


Wenn man weiß, dass z.B. p und q Prädikate sind, dann wäre in der Menge (somit eine logische Formel) und .
Da dies logische Formeln sind, wäre auch z.B. logische Formeln.


So lässt sich manchmal eine Menge relativ einfach beschrieben, dies anders darzustellen wäre relativ unschön.

Aber wie gesagt, in der Mathematik findet man soetwas eher selten / fast nie.
Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Sag mal, studierst du Informatik?? Werde das nähmlich dieses Jahr auch m Oktober anfangen.
Falls ja, wäre es schön, einen Ansprechpartner zu haben. Es gibt zwar genug dann in dem Campus wie Studenten und Professoren, aber wäre trotzdem klasse smile
Vielleicht wärst du auch so nett und könntest mir einiges über ein Informatikstudium erzählen?? smile


MFG Majin_Clodan
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