tangente weiterer schnittpunkt

21.07.2008, 15:07

DarthVader

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tangente weiterer schnittpunkt

hallo zusammen,

bei folgender aufgabe komme ich nicht so recht weiter:

a)
an die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ ist im punkt $\begin{eqnarray*} P(1|1) \end{eqnarray*}$ die tangente an die kurve zu legen.

b)
diese tangente hat mit der kurve noch einen weitern schnittpunkt. bestimmen sie ihn.
anleitung: lösen die entstehende gleichung durch raten.

c)
fertigen sie eine zeichnung an.

a)
ansatz: $\begin{eqnarray*} t(x)=mx+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(x|f(x)) \end{eqnarray*}$

bestimmung von m:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \Rightarrow f'(1)=3 \cdot 1^2=3=m \end{eqnarray*}$

bestimmung von b:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \Rightarrow 3x^2=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

dann hab ich für die tangente also: $\begin{eqnarray*} t(x)=3x\pm \sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

aber ich glaub, dass das nicht korrekt ist......

für b) hab ich mir dann gedacht, dass ich die ausgangsfunktion mit der tangentenfunktion gleichsetze...?

21.07.2008, 15:14

Jacques

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Hallo,

Zu a):

Die Steigung ist korrekt berechnet. Den Achsenabschnitt ermittelt man aber anders:

Die Funktionsvorschrift hat die Form

$\begin{eqnarray*} t(x) = mx + b \end{eqnarray*}$

m ist bekannt und kann eingesetzt werden:

$\begin{eqnarray*} t(x) = 3x + b \end{eqnarray*}$

Auf b kommt man durch folgende Überlegung: b muss so beschaffen sein, dass (1, 1) eine Lösung der Gleichung ist, denn (1, 1) ist ja nach Voraussetzung ein Element der Funktion. D. h. es ist die Lösung gesucht von

$\begin{eqnarray*} 1 = 3 + b \end{eqnarray*}$

Zu b)

Genau so.

21.07.2008, 15:17

Zizou66

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Dann lass uns doch mal sehen, was du zu b) herausfindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2008, 15:24

DarthVader

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danke für die schnelle antwort....so dann hab ich für die tangente

$\begin{eqnarray*} t(x)=3x-2 \end{eqnarray*}$

für b) hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} x^3=3x-2 \Rightarrow x^3-3x+2=0 \end{eqnarray*}$

is das soweit richtig.....jetzt muss ich nur die nullstellen berechnen....da würde ich als erste nullstelle x=0 raten.....wie mache ich denn dann weiter (ich glaub polynomdivision......is schon ein bisschen her das ich das gemacht hab)

21.07.2008, 15:26

Jacques

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0 ist aber keine Nullstelle. Wenn man das einsetzt, erhält man 2 = 0. (also keine Lösung)

21.07.2008, 15:27

Zizou66

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Ja das ist richtig. Weitermachen mit Polynomdivision ist auch eine gute Idee. Welche Nullstelle kennst du denn dafür schon?

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21.07.2008, 15:33

DarthVader

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ja stimmt ist mir auch grad aufgefallen,dass 0 nicht geht. also laut zeichnung ist der schnittpunkt bei P_2(-2|-8), aber wie ermittel ich den jetzt.....wie errate ich denn ne nullstelle bei kubischen gleichungen?

21.07.2008, 15:35

Zizou66

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Du kennst schon eine Nullstelle!
Du errätst eine Nullstelle, indem du die ganzen Zahlen von -3 bis 3 ausprobierst, ob sie für die Gleichung null ergeben.

21.07.2008, 15:36

Jacques

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Durch Einsetzen von ganzen Zahlen zwischen -10 und +10. Also -2 ist eine Lösung.

Dann gilt: Wenn x1 eine Nullstelle des Terms ist, dann kann der Term durch (x - x1) dividiert werden.

21.07.2008, 15:47

DarthVader

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ahh ok vielen dank....ich hatte jetzt noch 1 als nulstelle erraten.

also mach ich jetzt polynomdivision mit -2, d.h. also:

$\begin{eqnarray*} (x^3-3x+2){:}(x+2)=x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$

also hab ich jetzt für die nullstellen:

x1=-2
x2=1
x3=1

gut jetzt hab ich die nullstellen....da ich den punkt P(1|1) ja schon habe brauch ich also nur die -2 in die ausgangsfunktion einsetzen

$\begin{eqnarray*} f(-2)=-8 \end{eqnarray*}$

also der zweite schnittpunkt ist P_2(-2|-8)

ist das soweit korrekt.....

21.07.2008, 15:51

Zizou66

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Wieso machst du Polynomdivision mit -2 und nicht mit 1? Die -2 würdest du doch eigentlich gar nicht kennen, wüsstest du nicht schon die Lösung zu der du gerade gelangen willst.

Soweit ist das korrekt. Versuche bitte dein Latex oben noch einmal zu verbessern, so kann niemand lesen, was du schreiben willst.

21.07.2008, 15:52

Jacques

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Ja, das ist alles genau richtig. Es spielt übrigens keine Rolle, in welche Funktionsvorschrift man die Lösung für x einsetzt, der Schnittpunkt ist ja ein gemeinsamer Punkt beider Graphen.

21.07.2008, 15:54

DarthVader

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habs berichtigt =)

ja das stimmt....würde ich den tipp von jaques beherzigen würde ich aber zuerst auf -2 kommen....im endeffekt ist ja beides korrekt....wobei die 1 natürlich am ehesten zu erraten wäre

vielen vielen dank für eure super hilfe Freude

Freude

21.07.2008, 16:03

Zizou66

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Alles klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mir ging es eigentlich nur darum, dir zu zeigen, dass du schon eine Nullstelle kennst und nicht noch zusätzlich eine erraten musst.

22.07.2008, 11:29

TheWitch

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Zitat:

Original von Zizou66
Du errätst eine Nullstelle, indem du die ganzen Zahlen von -3 bis 3 ausprobierst, ob sie für die Gleichung null ergeben.

Zitat:

Original von Jacques
Durch Einsetzen von ganzen Zahlen zwischen -10 und +10. Also -2 ist eine Lösung.

Auch wenn sie letztendlich zum richtigen Ergebnis geführt haben - eure Vorschläge sind leicht abenteuerlich.

Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann muss sie (bzw. ihr Betrag) Teiler des Absolutgliedes sein, in diesem Falle $\begin{eqnarray*} (x^3-3x+2=0) \end{eqnarray*}$ also Teiler von 2. Da kommen nur 1 und 2 infrage, jeweils mit den Vorzeichen + und -.

22.07.2008, 11:39

Zizou66

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Richtig, TheWitch, allerdings war das in diesem Falle eine Anleitung wie man allgemein Nullstellen errät und mir wurde das in der Schule mit dem Intervall von -3 bis 3 beigebracht, Jacques offensichtlich mit -10 bis 10.

22.07.2008, 15:40

TheWitch

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Und welchen geistigen Nährwert sollte das "Verfahren" haben? Versuch mal, auf die eine oder andere Weise eine Nullstelle von beispielsweise $\begin{eqnarray*} x^3 - 12x +x - 12 = 0 \end{eqnarray*}$ zu "erraten".

22.07.2008, 15:47

Zizou66

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Ich weiß auch nicht, welcher Gedanke dahinter steckt. Ich habe es in der Schule so beigebracht bekommen, um Gleichungen dritten Gerades durch Polynomdivision auf eine quadratische zurückführen zu können und so alle Nullstellen bestimmen zu können.

Zu deiner Aufgabe:

Du meinst wohl: $\begin{eqnarray*} x^3-12x^2+x-12=0 \end{eqnarray*}$ Nullstelle ist 12.

Diese Nullstelle hätte man in einer Klausur bei den Lehrern von Jacques und mir nicht erraten müssen.

22.07.2008, 16:59

TheWitch

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Sorry, natürlich fehlte da oben das Quadrat.

Das ist eine ganz gängige Aufgabe, die ich mir nicht ausgedacht habe. Ich weiß nicht, warum man euch das so beigebracht hat - alle mir bekannten Lehrer und Schulbücher weisen darauf hin, dass man die Teiler des Absolutgliedes beim "Raten" heranzuziehen hat. Was auch in der Allgemeinheit für diese Fälle die einzig sinnvolle und begründbare Herangehensweise ist. Auf jeden Fall solltet ihr euer Vorgehen nicht anderen empfehlen, da es nicht notwendigerweise zum Ziel führt.

22.07.2008, 17:10

Zizou66

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Ja, deine Herangehensweise hat die besseren Argumente auf seiner Seite, das sehe ich ein, allerdings wird es vielfach von den Lehrern so beigebracht, wie ich es kenne (und ich habe mich mal umgehört: an anderen Schulen ist das auch so) und daher halte ich es für sinnvoll das auch weiter so einem Fragesteller zu empfehlen. Ich werde aber ab jetzt, wenn ich daran denke, auf deine Methode verweisen, dann kann derjenige sich etwas aussuchen. Ich glaube so kommen wir auf einen guten gemeinsamen Nenner, oder?

22.07.2008, 17:15

tigerbine

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In der Schule wird imho leider zu wenig auf die Teiler des Absolutglieds eingegangen. Obwohl man doch eigentlich schon in der Lage sein sollte, Primfaktorzerlegungen zu bestimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da die Aufgaben in den Schulbüchern konstruiert sind, vielleicht mit mangelnder Kreativität, sind die Nullstellen doch meist in dem Standardintervall [-10,10] zu finden.

Stellt doch eurem Lehrer mal eine selbst konstuierte Aufgabe. Mit ner schönen Primzahl als Absolutglied. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2008, 17:20

Zizou66

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Hehe das ist eine Teufel

Teufel

- Idee von dir Tigerbine Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kann meinem alten Mathelehrer mal ne Mail schreiben, oder ihn nach den Ferien darauf ansprechen, dann kann ich den noch etwas reizen smile

smile

Zitat:

In der Schule wird imho leider zu wenig auf die Teiler des Absolutglieds eingegangen.

Das ist mit Sicherheit richtig, da ich erst hier herausfinden durfte, dass das Ding überhaupt einen Namen hat.

23.07.2008, 10:58

TheWitch

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Zitat:

Original von tigerbine
In der Schule wird imho leider zu wenig auf die Teiler des Absolutglieds eingegangen.

Meine Erfahrungen sind - wie gesagt - da andere. Ich habe aber gerade einen Schnellcheck durch einige Schulbücher gemacht: Nahezu durchgängig wird darauf hingewiesen, teilweise allerdings bereits in den Sek I-Bänden. Gravierende (weil Marktführer) Ausnahme allerdings: Ausgerechnet der Lambacher-Schweizer Nordrhein-Westfalen (und sowohl Zizou als auch Jacques kommen ja daher) verzichtet in seinen neueren Ausgaben darauf.

Zitat:

Da die Aufgaben in den Schulbüchern konstruiert sind, vielleicht mit mangelnder Kreativität, sind die Nullstellen doch meist in dem Standardintervall [-10,10] zu finden.

Das hat weniger mit mangelnder Kreativität als mit einfacher Zeichenbarkeit zu tun. Ich möchte nicht das Geschrei hören, das sich erhebt, wenn wesentliche Teile des Graphen so angelegt wären, dass die y-Achse außerhalb des Blickfelds geriete - oder die x-Achse anders skaliert werden müsste.

Zitat:

Stellt doch eurem Lehrer mal eine selbst konstuierte Aufgabe. Mit ner schönen Primzahl als Absolutglied. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Primzahlen sind da eher langweilig, weil die in Frage kommende Teilermenge sich in den meisten Fällen doch recht einfach ergibt.

Das ganze Verfahren lässt sich übrigens noch verfeinern:
Addiert man die Koeffizenten (in meinem Beispiel oben $\begin{eqnarray*} 1 - 12 + 1 - 12 = -22 \end{eqnarray*}$ ), bestimmt die Teilermenge dieser Summe (jeweils mit positivem und negativem Vorzeichen) und erhöht diese Teiler jeweils um 1 (in meinem Beispiel oben $\begin{eqnarray*} T =\{-22; -11; -2; -1; 1; 2; 11; 22\} ~\text{und}~T_{+1}=\{- 21; -10; -1; 0; 2; 3; 12; 23\} \end{eqnarray*}$ , so muss die eventuelle Nullstelle auch Teiler dieser Menge sein. Das grenzt die in Frage kommenden Zahlen nochmals ein. In diesem Falle kann man sich das Einsetzen aller negativen Teiler von 12 außer - 1, der 1, der 4 und der 6 sparen.

23.07.2008, 12:45

DarthVader

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hui der thread lebt ja nochmal richtig auf.....also uns wurde in dieser hinsicht gar nichts beigebracht, da stand dann meistens "finden sie die erste nullstelle durch geschicktes raten" (dabei waren die aufgaben meistens so konzipiert, dass 1 oder 0 zum erfolg führten), deswegen danke ich euch allen mal, denn jetzt weiß ich wie ich eine nullstelle erraten kann =)

23.07.2008, 13:13

TheWitch

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Das ganze Verfahren heißt übrigens nicht "Nullstelle durch Raten finden", sondern "Nullstelle durch systematisches Probieren finden". Das schließt einige durchdachte Vorüberlegungen ein - und Aufgabenformulierungen wie "anleitung: lösen (Sie) die entstehende gleichung durch raten" eigentlich aus. Die Formulierung "finden sie die erste nullstelle durch geschicktes raten" geht da schon eher, ist aber auch noch unglücklich gewählt.

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