Diffbare Funktion konstr.

27.04.2006, 17:21	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffbare Funktion konstr. Hallo, Wir sollen eine Funktion f : IR -> IR mit folgenden Eigenschaften konstruiren: - a < b - f(x) = 0 für alle x <= a - f(x) = 1 für alle x >= b - f soll überall diffbar sein. Also gehe ich hin und konstruire mir: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{pmatrix} 0, x \leq a \\ 1, x \geq b \\ (), x \in ]a,b[ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, das einfachste wäre natürlich () als eine Grade zwischen f(a) und f(b) zu wählen, da f dann aber nicht mehr diffbar (in a und b) wäre geht das so natürlich nicht. Also bräuchte ich eine Funktion für die gilt f(c) = 0, f(d) = 1, f'(c) = 0 und f'(d) = 0. (Wobei c < d sein sollte) Bildlich ist das ja ziemlich einfach, die trivialste Fkt diese Art müsste wie folgt (rot) aussehen: http://img170.imageshack.us/img170/7153/image33vn.jpg Könnte mir jemand einen Tip geben wie ich an eine solche Funktion komme (oder ob ich auf dem Holrweg bin).
27.04.2006, 17:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Funktion dritten Grades, deren Graph bei $\begin{eqnarray} (a,0) \end{eqnarray}$ einen Tiefpunkt und bei $\begin{eqnarray} (b,1) \end{eqnarray}$ einen Hochpunkt hat (und folglich einen Wendepunkt bei $\begin{eqnarray} \left( \frac{a+b}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray}$ ).
01.05.2006, 13:52	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab versucht das von hinten aufzurollen und mir eine Funktion g(x) gebastelt: $\begin{eqnarray} g''(x) = 2x - (a + b) = (x-a) + (x-b) \end{eqnarray}$ ist: 0 für $\begin{eqnarray} x = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ > 0 für x = a < 0 für x = b $\begin{eqnarray} g'(x) = (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab \end{eqnarray}$ hat Nullstelle in x = a und x = b und keine in $\begin{eqnarray} x = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ Hat also einen TP bei x = a, einen HP bei x = b und (folglich) einen WP bei $\begin{eqnarray} x = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} g(x) = 1/3 x^3 - (\frac{a+b}{2})x^2 +abx \end{eqnarray}$ Dummerweise ist $\begin{eqnarray} g(a) \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(b) \neq 1 \end{eqnarray}$ Könnte noch einen Tip gebrauchen.
01.05.2006, 16:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Ansatz kann ich nicht ganz nachvollziehen ... Ich würde die Sache anders angehen, nämlich zunächst ein einfacheres Modell der Funktion konstruieren und den Graphen dann auf die richtige Größe strecken und in die richtige Lage verschieben. 1. zum Ursprung punktsymmetrische Funktion dritten Grades mit Hochpunkt in $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ . Ansatz: $\begin{eqnarray} f_1(x) = px^3 + qx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1(1) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_1'(1) = 0 \end{eqnarray}$ liefern sofort die Werte für $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ . Der Niveauunterschied zwischen Tief- und Hochpunkt beträgt $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Das Intervall zwischen Tief- und Hochpunkt hat ebenfalls die Breite $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . 2. Mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Richtung strecken. $\begin{eqnarray} f_2(x) = \frac{1}{2} \cdot f_1(x) \end{eqnarray}$ Jetzt beträgt der Niveauunterschied zwischen Tief- und Hochpunkt noch $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . 3. Mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} (b-a) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung strecken. $\begin{eqnarray} f_3(x) = f_2 \left( \frac{x}{\frac{1}{2} (b-a)} \right) \end{eqnarray}$ Das Intervall zwischen Tief- und Hochpunkt hat jetzt die Breite $\begin{eqnarray} b-a \end{eqnarray}$ . 4. Um $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} (a+b) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung verschieben. $\begin{eqnarray} f_4(x) = f_3 \left( x - \frac{1}{2} (a+b) \right) \end{eqnarray}$ Jetzt befindet sich der Tiefpunkt bei $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ und der Hochpunkt bei $\begin{eqnarray} x=b \end{eqnarray}$ . 5. Um $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Richtung verschieben. $\begin{eqnarray} f_5(x) = f_4(x) + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt hat der Tiefpunkt die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Koordinate $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und der Hochpunkt die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Koordinate 1. Voilá! $\begin{eqnarray} f(x) = f_5(x) \end{eqnarray}$ EDIT Schreibfehler in 1. und 2. korrigiert
02.05.2006, 15:27	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold, dass hast du wirklich verständlich erklärt

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