Riemann-Stieltjes-Integral

27.04.2006, 18:57

gessi

Riemann-Stieltjes-Integral

Ich verstehe beim Riemann-Stieltjes-Integral momentan gar nicht, was es genau bedeutet.

Es wurde in der Vorlesung (bisher) nicht eingeführt und ist nur auf einem Übungsblatt aufgetaucht.

Die Frage lautet:
Sei f:[a,b]-> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ :[a,b]-> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ monoton wachsend. Benutzen sie die Ober- und Untersummen (da waren welche angegeben, aber wenn ich das abtippe, wird es ein Roman - ich hoffe, dass ihr euch denken könnt, wie die aussehen), um analog zur Definition des Riemann-Integrals einen Integralbegriff zu erklären (geben Sie eine präzise Definition an). Existenz vorausgesetzt spricht man vom Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und bezeichnet es mit $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~d \alpha (x) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe den Unterschied zum Riemann-Integral nicht so ganz und weiß auch nicht, wie ich das Ding anwenden soll.
Wie kann ich damit rechnen, wenn ich ein f und ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gegeben habe? (Dieses $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Integral verwirrt mich.)

Tut mir Leid, ich habe da keine Ansätze, weil ich wie gesagt die Bedeutung von diesem Integral nicht verstehe.

P. S. Hab mir das auch bei Wikipedia angeschaut, das hat mir aber nicht weitergeholfen.

27.04.2006, 19:37

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Besser als die Wikipedia kann ich es auch nicht erklären. Aber vielleicht hilft dir die Berechnungsvorschrift für einen wichtigen Spezialfall:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und stückweise stetig differenzierbar, mit Ausnahme der Stellen $\begin{eqnarray*} x_1<x_2<\cdots<x_m \end{eqnarray*}$ . An diesen Stellen bestehe die Unstetigkeit aber nur aus einem endlichen Sprung der Höhe

$\begin{eqnarray*} h_k=\alpha(x_k+0)-\alpha(x_k-0) = \lim\limits_{x\searrow x_k} \alpha(x) - \lim\limits_{x\nearrow x_k} \alpha(x) \end{eqnarray*}$

Dann berechnet sich das Riemann-Stieltjes-Integral gemäß

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b ~ f(x) ~ \mathrm{d}\alpha(x) = \int\limits_a^b ~ f(x)\alpha'(x) ~ \mathrm{d}x ~ + ~ \sum\limits_{k=1}^m ~ f(x_k)h_k \end{eqnarray*}$ .

27.04.2006, 20:09

gessi

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Hm, ich glaub, wie man den Fall berechnet, ist mir dann halbwegs klar (auch wenn ich keine Ahnung hab, warum das so ist).
Wo kommt denn dein k beim $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ her? Ist das einer der Indizes von x?

Meine Aufgabe heißt
Sei H(x):=0 falls x<0 bzw. 1 falls x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und f:[-1,1]->R stetig.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~f(x)~dH(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~H(x)~dH(x) \end{eqnarray*}$ .

Ist das so ein Fall? Dann wäre also H(x) jetzt das, was vorher $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ war und an der Stelle 0 nicht stetig.
Aber wie bekomme ich das, was bei dir $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ heißt? Muss ich jetzt -1 und 1 als Grenzen nehmen? Denn für H selber sind ja überhaupt keine Grenzen angegeben, nur fürs Intervall des Integrals und für f.
Bräuchte ich dann einfach $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ =H(0)-H(0)=1-1=0?

Kann ich das Integral überhaupt explizit ausrechnen, ohne dass ich f kenne? Ich weiß ja nur, dass f auf dem Intervall [-1,1] stetig ist.

Naja, aber ich versuch es trotzdem mal mit dem zweiten:
Wenn ich die Formel anwende, fällt die Summe weg, da $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ hier 0 ist, es bleibt also nur noch $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~H(x)*H'(x)~dx \end{eqnarray*}$ .
Aber wie finde ich da eine Stammfunktion? Ich nehme mal an, dass das partielle Integration ist. Suche ich die Auf-/ Ableitungen dann abschnittsweise?

Sorry, ich glaub ich stell mich grad ziemlich dämlich an, aber ich blick das einfach nicht...

27.04.2006, 20:39

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Ja, das passt hier rein: Eine Unstetigkeitsstelle, also $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ , mit Sprunghöhe $\begin{eqnarray*} h_1= H(+0)-H(-0)=1-0=1 \end{eqnarray*}$ .

Der Rest der Funktion ist konstant, d.h., $\begin{eqnarray*} H'(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Macht insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 ~ f(x) ~ \mathrm{d}H(x) = \int\limits_{-1}^1 ~ f(x)\cdot H'(x) ~ \mathrm{d}x ~ + ~ f(x_1)h_1 = \int\limits_{-1}^1 ~ f(x)\cdot 0 ~ \mathrm{d}x ~ + ~ f(0)\cdot 1 = f(0) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} f=H \end{eqnarray*}$ kannst du ja wohl selbst einsetzen. Augenzwinkern

EDIT: Der letzte Satz mit dem Einsetzen ist Unsinn, siehe meinen Beitrag von 22:46. Hammer

27.04.2006, 20:49

gessi

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Das heißt, ich bekomme beim ersten Integral einfach f(0) und beim zweiten H(0), d.h. 0 raus???

27.04.2006, 22:46

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Oh, da hab ich was vergessen oben: Die Formel

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b ~ f(x) ~ \mathrm{d}\alpha(x) = \int\limits_a^b ~ f(x)\alpha'(x) ~ \mathrm{d}x ~ + ~ \sum\limits_{k=1}^m ~ f(x_k)h_k \end{eqnarray*}$ .

gilt nur, sofern das Riemann-Stieltjes-Integral überhaupt existiert. Hinreichend dafür ist z.B. die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aber eine Sprungstelle aufweist, die mit einer Sprungstelle von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zusammenfällt, gibt es Ärger - anders ausgedrückt: Das Integral existiert dann nicht, weil die Folge der Ober- und Untersummen nicht gegen denselben Wert konvergiert. Und genau das passiert bei $\begin{eqnarray*} f=H \end{eqnarray*}$ , das ganze ist also eine Falle!

27.01.2010, 11:02

ankasztaj

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Sind zwar schon Jahre her aber ich versuche das gleiche Thema zu verstehen.

bei der aufgabe die ihr gerechnet habt.
wie kommt man da auf die unstetigkeitsstelle bei m=1 und x1=0 ?
was ist m?
wieso ist H(x+0) = 1 und H(x-0) = 0? Ist es nicht das gleiche?

27.01.2010, 15:28

ankasztaj

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RE: Riemann-Stieltjes-Integral
*schubs*

27.01.2010, 19:22

ankasztaj

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RE: Riemann-Stieltjes-Integral
kann mir den wirklich keiner helfen?

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Riemann-Stieltjes-Integral

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