Stetigkeit, Umgebungen

27.04.2006, 20:03

DreamTheater123

Stetigkeit, Umgebungen

Hi.

Ich bin grade am verzeifeln an folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei X Teilmenge der Reellen Zahlen ist, stetig im Punkt x_0 und f(x_0)>0. Zeigen sie, dass es eine Umgebung U von x_0 gibt mit f(x)>0 für alle x aus (U geschnitten X)

Wär nett wenn mir dabei jemand helfen könnte. Hab nämlich z.Z. noch keine Ahnung wie ich da Anfangen soll.

27.04.2006, 20:17

Abakus

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RE: Stetigkeit, Umgebungen
Eine Möglichkeit ist die Anwendung der $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta - \end{eqnarray*}$ Definition der Stetigkeit. Wähle einfach einen geeigneten Wert für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und interpretiere die Stetigkeitsbedingung richtig.

Grüße Abakus smile

27.04.2006, 20:23

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Alternative wäre ein Widerspruchsbeweis, mithilfe der Definition von der Stetigkeit, also "...wenn für jede Folge x_n , die gegen y strebt, immer auch f(x_n) gegen f(y) strebt"

27.04.2006, 20:45

DreamTheater123

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Also ich kann doch davon aus gehen, dass

$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0 \mid <\delta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

gilt, da ja in der Aufgabe steht, da die funktion in x_0 stetig ist.

Die Definition einer Umgebung ist meinen Unterlagen nach folgende:

$\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x_0):=\{ x \in K \mid x-x_0 \mid < \epsilon \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 \in K, \epsilon>0 \end{eqnarray*}$

Nun hat mein ein einhalb Stunden langes aufsblattgestarre leider noch zu keinen produktiven Ergebnissen geführt. Ist die Aufgabe nicht, dass wenn eine funktion im Punkt x_0 stetig ist, dass dann folgt, es gibt eine Ungebung von x_0 mit f(x) für alle x in U geschnitten X. So hab ich jedenfalls die Aufgabe verstanden. Eure (wahrscheinlich total richtigen) Vorschläge helfen mir jetzt leider auch nicht viel weiter.

27.04.2006, 21:13

Abakus

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Zitat:

Original von DreamTheater123
Also ich kann doch davon aus gehen, dass

$\begin{eqnarray*} \mid x-x_0 \mid <\delta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

gilt, da ja in der Aufgabe steht, da die funktion in x_0 stetig ist.

So ungefähr. Nur die Quantoren musst du noch hinzufügen und diese Aussage dann richtig interpretieren.

Setze nun zB: $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

Was würde das jetzt bedeuten?

Grüße Abakus smile

27.04.2006, 21:27

DreamTheater123

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Zitat:

Original von Abakus

So ungefähr. Nur die Quantoren musst du noch hinzufügen und diese Aussage dann richtig interpretieren.

Setze nun zB: $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

Was würde das jetzt bedeuten?

Grüße Abakus smile

Also für f(x) könnte das bedeuten, dass es kleiner sein muss als:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ,
Da
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} f(x_0) - f(x_0) =\epsilon \end{eqnarray*}$

27.04.2006, 21:36

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Das ist die Grenze nach oben, ja.

Das entscheidende hier ist aber die Grenze nach unten - erst da zeigt sich, warum $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ so passend ist.

27.04.2006, 21:53

DreamTheater123

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Vielleicht
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

Da

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0)}{2} - f(x_0) = -\frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

und der Betrag davon wär ja wieder:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

also epsilon!?

27.04.2006, 22:07

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Trag doch mal zusammen, was du jetzt hast. Das zur Wahl von $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ existierende $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ erfüllt folgendes:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0)}{2} < f(x) < \frac{3f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

Und was solltest du beweisen? Augenzwinkern

27.04.2006, 22:23

DreamTheater123

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Naja, zeigen sollte ich, dass eben diese Umgebung existiert, sodass f(x)>0. Hier haben wir jetzt den Fall, dass wir durch die Wahl von
$\begin{eqnarray*} \epsilon:= \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ f(x) in jedem Fall zwischen

$\begin{eqnarray*} \frac{3f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ eingrenzen konnten. Somit existiert dieses f(x)>0, da f(x_0) ja auch grösser als 0 ist, richtig?

27.04.2006, 22:48

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27.04.2006, 22:52

DreamTheater123

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Freude

Super, dann danke ich euch auf jeden Fall ganz herzlich für eure Hilfe. Allein wär ich da nie drauf gekommen. Allein schon nicht darauf das e zu wählen. Also wie gesagt, riesengroßes Dankeschön. Find ich echt klasse von euch.

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