Produkt zweier integrale

22.07.2008, 08:52

schnei25

Produkt zweier integrale

hallo,

ich hätt mal eine Frage zur Integration einer scheinbar einfachen Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=\int_{}^{}~k1~*exp( \int_{}^{}~k2~dx) dx \end{eqnarray*}$ / mit k1 = k2 = Konst.

--> die Lösung $\begin{eqnarray*} y=k1x*exp(k2x) \end{eqnarray*}$ scheint nicht richtig zu sein, da die Kontroll-Ableitung

$\begin{eqnarray*} y'=k1*exp(k2x)*(1+k2x) \end{eqnarray*}$ ergibt ... verwirrt

....

Bei mir ist die Analysis schon lang-lang her und für jeden Tipp bin ich überaus dankbar

22.07.2008, 09:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt zweier integrale
Da nicht klar erkennbar ist, wie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~k2~dx \end{eqnarray*}$ von der Variablen x abhängt bzw. in welchen Grenzen überhaupt integriert wird (eigentlich muß es $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~k2~du \end{eqnarray*}$ heißen), läßt sich das allgemein nicht beantworten. Es könnte zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{0}~k2~du \end{eqnarray*}$ sein. Dann ist das Integral Null und das gesamte Integral fällt zusammen auf $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~k1~dx \end{eqnarray*}$ .

22.07.2008, 09:51

schnei25

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt zweier integrale
es soll über x integriert werden -- also sind die Grenzen 0 - x ??

22.07.2008, 09:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sagt das denn? Das ist eine bloße, i.a. nicht gerechtfertigte Annahme. unglücklich

----------------------------------------

Man trifft öfter auf Darstellungen

$\begin{eqnarray*} g(x) = \int\limits_0^x ~ f(x) ~ \dd x\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

aber streng mathematisch ist das grober Unfug, diese Doppelverwendung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einerseits als Funktionsargument von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und damit Parameter des Integrals - und andererseits als Integrationsvariable. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} g(x) = \int\limits_0^x ~ f(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

also die saubere Trennung beider Vairablen. Hängt übrigens der Integrand auch noch vom Parameter ab, etwa in

$\begin{eqnarray*} g(x) = \int\limits_0^x ~ f(u,x) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

dann ist man mit Darstellung (*) sowieso erschossen.

22.07.2008, 10:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schlage mal vor, daß man für das innere Integral diese Darstellung nimmt:

$\begin{eqnarray*} \int_{u_2}^{x}~k2~du \end{eqnarray*}$ wobei u_2 eine Konstante für die untere Grenze ist.

Das kann man dann lösen und dann damit das äußere Integral bestimmen.

Ich frage mich nur, wer sich solche Aufgaben ausdenkt. verwirrt

22.07.2008, 10:31

schnei25

Auf diesen Beitrag antworten »

... eigentlich möchte ich die Differentialgleichung vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} + a(x)y - b(x) = 0 \end{eqnarray*}$ lösen.

Der Ansatz hierfür

$\begin{eqnarray*} y=exp(- \int_{}^{}~a(x)~dx) [\int_{}^{}~b(x)~*exp( \int_{}^{}~a(x)~dx)dx + C] \end{eqnarray*}$

... die obige Differentialgleichnug beschreibt einen zeitabhängigen Vorgang ... also möchte ich über die Zeit integrieren. Die Funktionen a(x) und b(x) sind (noch) nicht zeitabhängig ... sie entsprechen somit meinen Konstanten k1 und k2

Was ich natürlich nicht beachtet habe am Anfang -- die Grenzen und die e-Funktion wird nicht null

dh. die erste Lsg. wäre $\begin{eqnarray*} y=k1x*(exp(k2x)-1) \end{eqnarray*}$ ... aber wie gesagt verwirrt

22.07.2008, 11:24

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

is des dy/dx oder dy/dt?

22.07.2008, 11:56

schnei25

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig ... die Ableitung nach der Zeit wird in der Regel mit dt oder Punkt gekennzeichnet ... mir ging es aber rein formal um die Lösung des Integrals ...

22.07.2008, 13:24

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schnei25
... eigentlich möchte ich die Differentialgleichung vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} + a(x)y - b(x) = 0 \end{eqnarray*}$ lösen.

Der Ansatz hierfür

$\begin{eqnarray*} y=exp(- \int_{}^{}~a(x)~dx) [\int_{}^{}~b(x)~*exp( \int_{}^{}~a(x)~dx)dx + C] \end{eqnarray*}$

Tja, das ist eben eine schlampige Schreibweise, wie ich schon sagte. Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} + a(x)y = 0 \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} y_h(x) = C\cdot \exp\left( -\int\limits_{x_0}^x ~ a(u) ~ \dd u \right) \end{eqnarray*}$ . Variation der Konstanten für die partikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p(x) = C(x)\cdot \left( -\int\limits_{x_0}^x ~ a(u) ~ \dd u\right) \end{eqnarray*}$ der inhomogenen Ausgangsgleichung ergibt dann zusammen mit der allgemeinen homogenen Lösung die Gesamtlösung

$\begin{eqnarray*} y(x) = \exp\left(-\int\limits_{x_0}^{x} ~ a(u) ~ \dd u \right) \cdot \left[ \int\limits_{x_0}^{x} ~ b(v)\cdot \exp\left( \int\limits_{x_0}^{v} ~ a(u) ~ \dd u \right) \dd v + C \right] \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} y(x_0)=C \end{eqnarray*}$ der Anfangswert ist. So wird ein Schuh draus, und nicht mit diesem ineinandergeschachtelten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Gemantsche.

22.07.2008, 14:11

schnei25

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur ...

die Grenze x bleibt aber ?! (im 3 Integral)

die Integrale sind so unabhängig voneinander und können auch einzeln integriert werden?

... ich versteh diese Gleichung nicht Hammer

der "Euler-Ansatz" e^( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *t) führt zu einem anderen Ergebnis als in der Literatur angegeben ... die obige Gleichung scheint aber auf einen ähnlichen Algorithmus zu basieren ....

22.07.2008, 14:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schnei25
die Grenze x bleibt aber ?! (im 3 Integral)

Zugegeben, ich verschreibe mich schon mal - aber hier hat es schon seine Richtigkeit mit dem $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ da als obere Grenze! Augenzwinkern

22.07.2008, 15:45

schnei25

Auf diesen Beitrag antworten »

.... jetzt versteh ich gar nichts mehr,

vielleicht bin ich die Frage falsch angegangen ...

mein ursprüngliches Problem war die Lösung der Bewegungsgleichung

$\begin{eqnarray*} a*\frac{x(t)}{dt} + c*x(t)=F(t) \end{eqnarray*}$

... über den Ansatz x=e^(lambda*t) -Bestimmung der homogenen bzw. partikulären Lsg.- kam ich auf ein anderes Ergebnis, als in der Literatur angegeben.

In der Literatur wurde die Gleichung über den in diesem Abschnitt diskutierten Ansatz gelöst.

... aber nmit der letzten angegebenen Gleichung kann ich gar nichts mehr anfangen

22.07.2008, 21:09

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

kann des sein, dass da n allgemeines verständnisproblem bezüglich lösen von dgl vorliegt?

23.07.2008, 06:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schnei25
In der Literatur wurde die Gleichung über den in diesem Abschnitt diskutierten Ansatz gelöst.

Wie oft soll ich denn noch wiederholen, dass dein Gematsche mit den unbestimmten Integralen nur in die Irre führt. Du lässt dich da offenbar von einem schlechten Buch leiten, selbst die Wikipediadarstellung in

http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

ist da ordentlicher.

Neue Frage »

Antworten »

Produkt zweier integrale

Verwandte Themen