Wurzelsatz von Vieta

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelsatz von Vieta
Hallo Wink ,

kann mir jemand folgenden Zusammenhang erklären :



?

lg Felix
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der gute alte Binomialkoeffizient. Ich nehme mal anstatt x und x1, a und b.



Diesen Zusammenhang kann man direkt aus dem allgemeinen binomischen Formel



herleiten und durch vollständige Induktion, oder auch durch ein direktes Argument beweisen.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile


Wie kommst du zu dieser Form des Binominalkoeffizienten ??



Statt x,y meinst du a,b nehm ich mal an ? und warum eigentlich :

.

Ich bin das Problem inzwischen aber schon anders angegangen :


1)
2)

Nach diesem Schritt bleibt mir :



nach dem ausmultiplizieren hat man :




Also ist :



lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja entschuldige, anstatt x und y meinte ich a und b.
Diese Darstellung folgt aus dem pascalschen Dreieck, wenn du dir das genau anschaust und damit versuchst für ein großes n aufzuschreiben fällt sehr schnell auf, dass das hässlich ist, wenn man nicht den Binomialkoeffizienten benutzt.


Wenn du in deiner Darstellung jetzt versuchen würdest die "..." wegzubekommen, könntest du das mit dem hinbekommen.

Zitat:
Nach diesem Schritt bleibt mir :



nach dem ausmultiplizieren hat man :




Also ist :



Hierin finden sich viele Flüchtigkeitsfehler(z.B.: In (2) am Ende =0), aber von denen abgesehen müsstest du viel mehr kommentieren was du da tust, damit das als Beweis durchgeht.
Vielleicht willst du danach auch mal den entsprechenden Beweis mit vollständiger Induktion führen, das ist sicherlich hilfreich beim Verständnis des Beweises.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du in deiner Darstellung jetzt versuchen würdest die "..." wegzubekommen, könntest du das mit dem hinbekommen.


Das ist schon klar, nur wenn ich mich nicht irre sollte doch eigentlich so ausschauen :

da k ja der Laufindex ist.






Wo ist hier ein Flüchtigkeitsfehler bzw. was ist daran falsch? Was muss ich zusätzlich kommentieren damit es ein gültiger Beweis wäre ?


Wenn du mir zeigen würdest wie ich den Beweiß mit vollständiger Induktion führe, würde mich das freuen. Aber alleine werde ich das nicht schaffen, weil ich es noch nie gemacht habe unglücklich .

lg
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Dann gilt:

 
 
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Und auch dieses mal ist dein Einwand wieder richtig Augenzwinkern So wie du es jetzt aufgeschrieben hast ist es korrekt.

Zu deinem Beweisversuch:

Du musst im einzelnen kommentieren was du wann machst und nachvollziehbar begründen, dass das zum Ergebnis führt.

Fangen wir mal damit an, wie du hierauf kommst:

Zitat:


Du folgerst das offensichtlich aus richtigen Gleichungen, die du darüber stehen hast, aber was tust du damit daraus das wird, was da nun steht?

Und am Ende musst du zeigen, wieso daraus folgt, dass das ganze gleich ist.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten Freude

Zitat:
Du folgerst das offensichtlich aus richtigen Gleichungen, die du darüber stehen hast, aber was tust du damit daraus das wird, was da nun steht?

Ok klar, aber die Schlussfolgerung an sich ist nicht falsch ???

Und wie geht das jetzt mit vollständiger Induktion ?

@ Therisen

Danke, sieht besser aus als mein Ansatz der sich über 8 Zeilen dehnt Big Laugh


lg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens: Wenn man diese Gleichung nicht kennt (denn das setzt ja therisens Beweis voraus), kann man sie sich durch Polynomdivision herleiten. Ein formaler Beweis muss danach natürlich trotzdem noch erfolgen.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok klar, aber die Schlussfolgerung an sich ist nicht falsch ???


Insgesamt stehen da überhaupt keine Gleichungen, sondern nur ein Term, es fehlt die rechte Seite, daher ist es auch formal nicht korrekt wenn du bei (2) schreibst, dass das gleich 0 ist, was vor dem ausmultiplizieren noch nicht mit einem Gleichheitszeichen versehen war. Es sieht aber alles nach einer engagierten Einzelleistung aus, das finde ich lobenswert Freude

Wenn du das ganze mit Induktion machen willst, muss die Induktion bei n=2 beginnen, das ist dann dein Induktionsanfang, für den musst du dann zeigen, das die Formel gilt, danach schreibst du die Induktionsvoraussetzung hin, die natürlich auch richtig sein muss und dann machst du den Induktionsschluss mit n=n+1 und zeigst da auch wieder, dass das gilt. Wenn du noch nie etwas mit Induktion gemacht hast, verweise ich hier gerne auf:

Wiki: Vollständige Induktion

Da sind auch einige Beispiele drauf angeführt.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hab mich jetzt mal ein bisschen auf Wikipedia über die Induktion schlau gemacht.

Also Induktionsanfang wäre :

Damit wäre die Aussage mal für n=2 bewiesen.

Induktionsvorraussetzung ist, dass wenn , auch

Das muss ich jetzt beweisen, aber wie ?


@Therisen

Ich glaube übrigens, dass du einen kleinen Fehler gamacht hast weil du statt , geschrieben hat.

lg Felix
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, Induktionsvorraussetzung ist:



und Induktionsschluss ist:



Jetzt musst du die eine Seite Schritt für Schritt und nachvollziehbar so umformen, dass eine offensichtlich wahre Aussage heraus kommt.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
@Therisen

Ich glaube übrigens, dass du einen kleinen Fehler gamacht hast weil du statt , geschrieben hat.


Nein, das stimmt schon so. Für n=2:
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Was dann im Prinzip nichts anderes als das wäre ? :



lg
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

@ Therisen

Aso ok, weil ????

edit : mein Feher verwirrt

Tut mir leid ich bin volkommen verwirrt ... aber bei dürfte da die "summe" nicht nur aus einem Glied bestehen ?
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf bezieht sich dein letzter Eintrag? Auf therisens oder meine Antwort?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Mein vorletzter auf deine :

Zitat:


Was dann im Prinzip nichts anderes als das wäre ? :



lg



Mei Letzter auf theriesens :

Zitat:
@ Therisen

Aso ok, weil ????

edit : mein Feher

Tut mir leid ich bin volkommen verwirrt ... aber bei dürfte da die "summe" nicht nur aus einem Glied bestehen ?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Tut mir leid ich bin volkommen verwirrt ... aber bei dürfte da die "summe" nicht nur aus einem Glied bestehen ?


Wieso? k nimmt erst den Wert 0 an, dann den Wert 1. Summa summarum 2 Summanden Augenzwinkern
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich irgendwas bei der Definition des Summenzeichens verpasst :

Wenn n=1 ist gimmt es nur ein Glied bei dem k halt 0 ist wenn k=0. So hab ich das verstanden verwirrt verwirrt unglücklich unglücklich

Edit :

Und n - 1 - k wäre ja bei n - 1 = n - 1 -1 -k unglücklich verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch gesagt, dass bei meinem Beispiel n=2 ist! 2-1=1.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid meine Fragen scheinen sehr blöd gestellt zu sein unglücklich

Aber welche "Rolle" spielt das -1 hinter dem 2er dann um es mal ganz banal auszudrücken ...

lg und vielen Dank für die Geduld Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird eben bis n-1 summiert. Das muss so sein, ansonsten stimmt die behauptete Gleichheit nicht.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok aber das würde ja hier bedeuten das nur bis 1 (sprich ein Glied ?) summiert wird ??



Oder hab ich das falsch verstanden und es wird summiert bis k = n ist ???
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft es ja, wenn man es mal allgemein formuliert:



Hier werden alle Werte von k bis n addiert. Und zwar 0+1+2+...
Wichtig ist in manchen Fällen, dass k auch den Wert null annimt.
Unter dem Sigma steht immer der Startwert und überhalb der Endwert der Summe.

Daher hat man in dem Fall den ihr gerade diskutiert auch zwei Summanden, weil k von 0 bis 2-1=1 geht. Daher nimmt k die Werte 0 und 1 an.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt ist alles klar smile , wie gesagt ich habe halt noch nie eine genau Definition davon gesehen, das hat halt zu einiger Verwirrung geführt.

Um nochmal auf den Induktionsschluss zurück zu kommen :

inwiefern ist :

leichter zu beweisen als :

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird gar keine Aussage darüber gemacht, ob es einfacher oder schwerer ist. Bei der vollständigen Induktion muss man das so machen, um einen gültigen Beweis zu erhalten.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Schon klar aber wenn ich den Beweiß für n führe dann gilt die Aussage sowieso schon allgmein, wozu brauch ich da noch die vollständige Induktion, die nur noch zusätzliche Arbeitschritte beinhaltet.

Was ich meine ist das es doch irgendeinen "Trick" geben muss, durch den es leichter wird wen ich von n auf n+1 schließe.

Ich hoffe ich hab mich halbwegs verständlich ausgedrückt verwirrt

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind grundsätzlich zwei verschiedene Beweismethoden. Man kann diese Formel zum einen durch ein direktes Argument (wie therisen) beweisen, aber auch mit vollständiger Induktion. Du wolltest von mir wissen, wie du das mit vI machen kannst, daher habe ich dir die Schritte in der Form vorgegeben.
Der "Trick" von n auf n+1 zu schließen ist ganz einfach, dass man es für n zeigt und dann für n+1, das besondere daran ist, dass es dann für alle n gilt.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube wir reden aneinander vorbei unglücklich

Wenn du Zeit und Lust hast, wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir zeigen würdest wie du die Induktion an diesem konkreten Beispiel durchführst smile .

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich könnte das tuen, aber ich glaube, du solltest dich zuerst noch etwas mit der vollständigen Induktion beschäftigen, denn ich habe das Gefühl, dass du noch nicht gut damit umgehen kannst. Daher lege ich dir den Workshop ans Herz, und wenn du einige Übungsaufgaben suchst, findest du hier genug Material.

Danach müsstets du den Beweis eigentlich selber führen können, wenn nicht, helfe ich dir gerne.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ich versuche mich jetzt nocheinmal an der Induktion dieses Beispiels :

Also Induktions Anfang ist wie gesagt:



Induktionsannahme :



Induktionsschluss:





Ist der Ansatz mal so richtig ??

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sieht schon mal nicht schlecht aus. Allerdings würde ich im Induktionsschluss mehrere Schritte machen, da diese Umformung nicht direkt nachvollziehbar ist.
Und wenn du die Zwischenschritte dann aufgeschrieben hast, darfst du das (a+b) wieder in das Sigma "reinziehen", damit auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche steht und damit offensichtlich ein Beweis erbracht worden ist.

Ich würde diese Induktion übrigens so führen, ich hoffe dir hilft das ein wenig:

Induktionsanfang: für n=2




Induktionsannahme:


Oder in Worten: Sei die zu beweisende Formel als richtig angenommen für alle n größer 2, dann gilt:

Induktionsschluss: n=n+1





Das kann man jetzt noch mal mit dem Sigma umschreiben, muss man aber nicht.
Das ganze gilt dann wegen der Induktionsannahme, wenn man es noch anders zeigen will, kann man dann mal skizzenhaft zeigen, dass sich alle Terme, außer eben und weggheben, wenn man die letzte Zeile ausmultipliziert.

Edit: Ich sehe gerade, dass ich in meiner Ausführung mit dem Summenzeichen die Bezeichnung gewechselt habe. Zuerst habe ich geschrieben und danach habe ich a und b vertauscht, macht aber keinen Unterschied.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok langsam verstehe ich immer mehr Big Laugh

Mein Ansatz ist übrigens wieder blöd weil unglücklich

Dafür denke ich das ich deinen Ansatz nachvollziehen konnte Freude (auch wenn du in der 1. Zeile des Induktionsschlusses einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht hast Augenzwinkern )

Zitat:
Das ganze gilt dann wegen der Induktionsannahme, wenn man es noch anders zeigen will, kann man dann mal skizzenhaft zeigen, dass sich alle Terme, außer eben und weggheben, wenn man die letzte Zeile ausmultipliziert.


Dafür brauch ich aber die vollständige Induktion nicht, das wäre ja dann in der Art wie ich den Beweis (wenn auch schlampig) am Anfang gebracht habe ...

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass du das jetzt lernen konntest. Wenn du mehr lernen willst, schau doch mal im Workshop vorbei, oder suche dir ein paar einfache Übungen heraus. Wenn du Probleme hast, kannst du natürlich immer wieder fragen Augenzwinkern

Ich habe den Vorzeichenfehler in meinem alten Beitrag jetzt mal behoben, danke für den Hinweis.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tipp werde ich mir bei Gelegenheit mal anschaun.

Und nochmal vielen Dankfür all die andere Hilfe Freude

lg
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, gerne Freude
Du hast dich auch sehr gut angestellt, man hat deinen Beiträgen angemerkt, dass du dir selber Gedanken gemacht hast, das ist sehr gut.

Hier noch ein Link für ein paar Übungen zur vollständigen Induktion.
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