Urnenexperiment

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Havoide Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenexperiment
Hallo!

Ich habe folgendes Problem: Es gibt drei Arten von Urnen, die mit Kugeln gefüllt sind. Bei zwei davon ist der Anteil der roten Kugeln bekannt und wird mit bezeichnet () bei der dritten ist der Anteil nicht bekannt. Man nimmt nun eine Stichprobe (mit Zurücklegen) von N Kugeln, wovon n rot sind.

Nun ist die Wahrscheinlichkeit für die Proposition gefragt: : Es handelt sich um die Urne .

Als erstes habe ich dann das Bayes'sche Theorem benutzt:

Hierbei soll eben für die korrekte Normierung sorgen. Für ist das auch kein Probelm, da sind beide Wahrscheinlichkeiten bekannt, bei hingegen ist unbekannt.
Hier hab ich dann zur Marginalisierungsregel gegriffen, und zwar mit , also:

mit , und .
Damit erhält man dann

Nun weiß ich leider nicht, was ich mit der letzten Summe genau anfangen soll, bzw. ob mein bisheriger Gedankengang überhaupt richtig war smile
Ich habe zwar noch einige Umformungen gemacht, bin aber die Summe nie wirklich losgeworden, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich mich durch die Formeln grabe, möchte ich noch eins wissen:

Zitat:
Original von Havoide
Man nimmt nun eine Stichprobe (mit Zurücklegen) von N Kugeln, wovon n rot sind.

Wie nimmt man die Stichprobe??? Zuerst eine Urne zufällig auswählen (vielleicht mit jeweils 1/3 Wkt), und dann alle Kugeln aus einer Urne? Oder ganz anders?

Das solltest du schon dazu sagen, damit wir das ganze Procedere verstehen.


P.S.: Und ist der Anteil der roten Kugeln aus den ersten beiden Urnen alles, was wir wissen? Nichts über die Anzahlen der Kugeln in den drei Urnen?
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, dass ich vergessen habe, das zu sagen (stand auch nicht so explizit auf der Angabe): Es ist so, wie du vermutet hast, man wählt zufällig eine der drei Urnen, nimmt dann die ganze Stichprobe vom Umfang N aus der einen Urne (eben mit Zurücklegen) und erhält davon n rote Kugeln, daher kommt auch die Wahrscheinlichkeit 1/3 für das Auswählen einer Urne.
Über die Anzahl der Kugeln in den Urnen wissen wir nichts (ist auch nicht nötig, mit Zurücklegen, denke ich).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich mich jetzt wie versprochen durchgegraben habe - die Symbolik war etwas ungewöhnlich für meinen Geschmack - einige Anmerkungen:

Einerseits hast du für die Anteile roter Kugeln in den drei Urnen, wobei du bereits kennst und über näheres erfahren möchtest.

Andererseits verwendest du dasselbe Symbol für , das ist keine gute Idee. Ich verwende daher diese Bedeutung des im folgenden nicht.

Und wenn es Ziehen mit Zurücklegen ist, dann gilt doch einfach (also Binomialverteilung), auch für :

.


P.S.: Im übrigen scheinst du bei deinen Bezeichnungen den Überblick verloren zu haben: Wenn bei dir ein deterministischer Wert ist, was bedeutet dann der Ausdruck ? Ist mir völlig unverständlich.
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mir schon klar, dass auch für die Formel gilt, allerdings kenne ich ja nicht, deswegen kann ich mir ja auch die Wahrscheinlichkeit für die Urne 3 von vornherein nicht ausrechnen.

Danke für deinen Hinweis unten, ist mir erst jetzt aufgefallen, dass einige Sachen nicht allzu viel Sinn machen smile . und sind sinnlose Ausdrücke.

Als Tip ist uns gesagt worden, dass man die Marginalisierungsregel anwenden soll, nur wie soll man das machen, wenn die Anzahl der Kugeln in der Urne nicht festgelegt ist? Die einzige Idee die mir einfallen würde, wäre die Marginalisierungsregel mit kontinuierlichem Argument zu verwenden und , also die Länge des Intervalls zu setzen. Macht das Sinn?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mal fragen: Was suchst du denn eigentlich bei diesem Problem? Die Formeln stehen doch jetzt alle da.
 
 
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht sind die drei Wahrscheinlichkeiten . Ich kann mir aber die Wahrscheinlichkeit nicht ausrechnen, weil ich dafür ja , also den Anteil der roten Kugeln in Urne 3, nicht kenne. (Bzw. kann ich mir genauer gesagt für keine Urne die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, weil mir der Nenner fehlt (nach der Anwendung der Bayes'schen Formel)).
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht sind die drei Wahrscheinlichkeiten . Ich kann mir aber die Wahrscheinlichkeit nicht ausrechnen, weil ich dafür ja , also den Anteil der roten Kugeln in Urne 3, nicht kenne. (Bzw. kann ich mir genauer gesagt für keine Urne die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, weil mir der Nenner fehlt (nach der Anwendung der Bayes'schen Formel)).

Sry wegen Doppelpost.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und was hast du gegeben, um dieses Ziel zu erreichen? Nur ein Ergebnis n rote Kugeln bei einer Ziehung von N Kugeln aus einer unbekannten Urne? Oder eine ganze Reihe solcher Ergebnisse?

(Lass dir doch nicht alles aus der Nase ziehen.)


EDIT: Ich schreib's mal mit der mir eher vertrauten, und meiner Meinung nach auch nicht so missverständlichen Notation:

Ereignis ... Urne wird für die Ziehung verwendet
Zufallsgröße ... Anzahl der roten Kugeln unter gezogenen Kugeln

ist fest, also schleppe ich das nicht durch alle Formeln. Was wissen wir nun:

für


Bayessche Formel:

Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe nur ein einziges Ergebnis mit n roten von insgesamt N gezogenen Kugeln.

Genausoweit war ich ja auch, nur ist als zusätzliches Problem unbekannt, d.h. ich kann obige Formel nicht verwenden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Kenntnis von kannst du die Wahrscheinlichkeit nicht berechnen, so einfach ist das. Du kannst sie höchstens abschätzen mit Hilfe von



Von nichts kommt nichts, Stochastik kann nicht zaubern. unglücklich
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann sie schon berechnen (sonst hätten wir das Beispiel nicht als Aufgabe), eben irgendwie mit Marginalisierungsregel. wobei mir das noch nicht ganz klar ist...
Trotzdem danke soweit ^^
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bleib dabei: Nur mit Kenntnis von kannst du dein nicht berechnen!!! Die obige Formel gilt nunmal, ob du kennst oder nicht.
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich weiß, dass es geht, weil unser Prof. genau dieses Problem schon angekündigt hat. Aber egal, vielleicht schaff ichs noch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann hast du uns noch irgendwelche Informationen verschwiegen...

Ich geb's jedenfalls auf, dich zu überzeugen - gegen Autoritätsgläubigkeit ("unser Prof sagt, dass es geht, also muss es gehen") kommt man auch mit Sachargumenten nicht an, wenn der andere sie nicht hören will.
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann gebe ich dir mal meine vollständige Angabe (Wort für Wort), daran erkennt man nämlich schon, dass es sich nicht nur um einen Angabefehler handeln kann:

Zitat:
Es gebe drei Arten von Urnen. Die Urnen mit haben einen bekannten Anteil roter Kugeln. Von der dritten Urne kennt man den Anteil der roten Kugeln nicht.

Es wird eine Stichprobe vom Umfang N entnommen. Darin befinden sich n rote Kugeln.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Proposition
: Es handelt sich um die Urne

b) Diskutieren Sie die Spezialfälle....


Das war die vollständige Angabe von unsrem Übungsblatt, B steht einfach nur für den Bedingungskomplex, also da steckt auch keine weitere Info drin.

Mittlerweile bin ich schon einen Schritt weitergekommen und das Ergebnis sieht in Matlab geplottet auch nicht unbedingt schlecht aus (könnte also durchaus stimmen smile ) Wenn es dich interessiert, kann ich dir den Weg schildern, bzw. das Matlab-Skript schicken.

PS: Ich bin nicht wirklich autoritätsgläubig, aber in Fällen, wo es sich offensichtlich nicht um einen Angabefehler handelt, suche ich die Unzulänglichkeiten lieber doch vorher bei mir.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte mit Spannung, wie du aus nur einer Stichprobe das exakte berechnest. Denn wenn du ermitteln kannst, kommt man rückwärts über



dann auch an ran.


EDIT: Kein Matlab, bitte. Sondern die mathematischen Grundlagen, handfest begründet.
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Ich berechne das ja auch nicht, sondern ich benutze die Marginalisierungsregel, um es nicht berechnen zu müssen. Ich sage nämlich:


Der letzte Ausdruck stellt nun die Betafunktion dar. Den Ausdruck kenne ich, sodass ich schlussendlich auf das simple Ergebnis komme. Wenn man dann schnell ein Matlab-Skript schreibt und sich das anschaut, kommen durchaus sehr plausible Ergebnisse heraus, was mich zuversichtlich stimmt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Havoide

Da frage ich zigmal, ob du was verschwiegen hast.

Und was machst du hier? Nimmst an, dass das vorab gleichverteilt über [0,1] ausgewürfelt wird - oder was soll diese Integration sonst bedeuten?

Nach obigen Angaben bin ich von einem unbekannten, aber festen ausgegangen. Das ist doch jetzt hier eine völlig andere Situation!
Havoid Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integration bedeutet genau das, was du geantwortet hast. Aber verschwiegen habe ich nichts, habe dir ja die ganze Angabe Wort für Wort abgeschrieben, ich habe das dann einfach so angenommen, dass es gleichverteilt ist, mehr fiel mir einfach nicht ein smile .
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ihr in eurer Vorlesung "Bayessche Statistik" (oder so ähnlich Augenzwinkern ) halt die Grundregel habt "Ist ein Parameter unbekannt, dann integriere man ihn per Gleichverteilung raus", dann mach es halt so.

Aber das Ergebnis ist eben nicht

Zitat:
bei unbekanntem

, sondern

Zitat:
bei angenommener a-priori-Gleichverteilung von auf [0,1].

Dann habe ich auch nichts mehr zu meckern. smile
Havoide Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, das Problem ist eben, dass die Angaben nicht allzu präzise sind (so ist das halt bei den Physikern smile ). Das ist auch der Grund, wieso ich die elemetare Stochastik nicht unbedingt mag.

Das mit dem Integral war eigentlich auch meine Idee ganz zu Beginn, allerdings ist der Paramter ja eigentlich gar kein kontinuierlicher, sondern ein diskreter, wenn N nicht gerade unendlich ist. Also dürfte man ja strenggenommen gar nicht integrieren. Mit der Summe hat man allerdings seine liebe Not, meines Wissens, lässt sich diese nicht auflösen. Aber egal, Integral ist sicher eine gute Näherung smile
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