Integral einer geraden Funktion

28.04.2006, 14:19

Daktari

Integral einer geraden Funktion

Hi,

es ist zu zeigen, dass die Stammfunktion einer geraden Funktion ungerade ist.
f ungerade <=> f(x)=-f(-x)
f gerade <=> f(x)=f(-x)

Ich kenne einen Satz: "Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade".

Kann man dann so begründen?
Da Integrieren das "rückgängig machen" vom Ableiten ist, folgt mit dem Satz die Behauptung.

Geht es auch anderst? Ich meine, irgendwie in der folgenden Form?
Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x) und sei F(-x) eine Stammfunktion von f(-x). f sei eine gerade Funktion, d.h. f(x)=f(-x)
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} F(x)=\int f(x)~dx=\int f(-x)~dx = F(-x) \end{eqnarray*}$
Aber das ist nicht die Behauptung traurig

28.04.2006, 14:40

Lazarus

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Stells dir halt mal an einem Beispiel vor:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\int ~\cos(x)~\mathrm dx=\int~ \cos(-x)~\mathrm dx = -\sin(-x) \end{eqnarray*}$
Du musst ja sozusagen "nachintegrieren" .. bzw nachdifferenzieren das -x von F(-x) ..
und was ist nun genau dein problem ?

28.04.2006, 14:43

tesat

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Naja, du könntest dir doch ein allgemeins Beispiel überlegen, z.B.:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{4n} + x^{2n}; n \in Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{4n+1} * x^{4n+1} + \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Oder so etwas in der Art...

Hab ich das Problem jetzt erkannt? verwirrt

28.04.2006, 14:47

Leopold

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Zitat:

es ist zu zeigen, dass die Stammfunktion einer geraden Funktion ungerade ist.

Dieser Satz ist falsch. Es geht schon los mit "die Stammfunktion".

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{3} x^3 + 28{,}042006 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = F'(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist gerade, $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ jedoch nicht ungerade.

28.04.2006, 14:48

tesat

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Das stimmt allerdings...

28.04.2006, 14:51

Leopold

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Vielleicht könnte man so sagen:

Jede gerade Funktion besitzt eine ungerade Stammfunktion.

28.04.2006, 14:55

Dual Space

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RE: Integral einer geraden Funktion

Zitat:

Original von Daktari
Da Integrieren das "rückgängig machen" vom Ableiten ist,...

Obwohl diese Behauptung in vielen Schulbüchern hartnäckig verteten wird, ist sie nicht korrekt. Der Integraloperator ist lediglich rechtsinvers zum Differentialoperator. Wollte ich nur mal erwähnt wissen. Augenzwinkern

PS: Für deine Zwecke wird die Behauptung auch nicht aussreichen, da die Differentiation keine bijektive (genauer keine injektive) Operation ist. Was wiederum genau das ist, was Leopold schon weiter oben bemängelte.

28.04.2006, 15:00

martinoO

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ehm ja mit geraden und ungeraden Funktionen sind doch Potenzfunktionen gemeint. Also arbeite einfach mit den Regeln zum Ableiten bzw Integrieren für Potenzfunktionen...

28.04.2006, 15:03

Dual Space

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Zitat:

Original von martinoO
ehm ja mit geraden und ungeraden Funktionen sind doch Potenzfunktionen gemeint.

$\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ sind aber auch ungerade bzw. gerade Funktionen.

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