1 Ebene erzeugt eine andere durch Spiegelung an der gesuchten Ebene

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28.04.2006, 17:11	hamster	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Ebene erzeugt eine andere durch Spiegelung an der gesuchten Ebene Hallo Leute, also ich habe 2 konkrete Ebenen aus einer Ebenenschar. Die eine kann durch Spiegelung der anderen an einer dritten unbekannten Ebene der Ebenenschar erzeugt werden. Wie komme ich nun auf diese Ebene an der gespiegelt wurde? Komme leider nicht weiter...
28.04.2006, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die zwei Ebenen parallel sind, ist ihre Mittelebene die Symmetrieebene. Wenn sich die Ebenen dagegen schneiden, sind die winkelhalbierenden Ebenen die Symmetrieebenen. Ohne nähere Kenntnis der Ebenenschar kann man da nicht mehr sagen ...
28.04.2006, 17:30	hamster	Auf diesen Beitrag antworten »
E0: -4x+8y+2z=-4 E1: -4x-8y+16z=40 Ebene E0 erzeugt durch Spiegelung die Ebene E1. Die Spiegelung passiert an einer Ebene aus: (5a-4)x+(8-6a)y+(2-6a)z=-6a-4 Und die genaue ist gesucht. Also wenn man so will nur der Parameter a.
28.04.2006, 17:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Ebenen nicht parallel sind, muß es eine der beiden Winkelhalbierenden sein. Glücklicherweise sind die beiden Normalenvektoren $\begin{eqnarray} \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gleich lang, so daß man Normalenvektoren für die Winkelhalbierenden durch $\begin{eqnarray} \vec{n}_1 \pm \vec{n}_2 \end{eqnarray}$ erhält. Jetzt mußt du nur noch schauen, ob eine der Ebenen zur Schar gehört.
28.04.2006, 20:11	hamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal. Also das hab ich soweit verstanden, wie ich auf die beiden möglichen Normalenvektoren der gesuchten Ebene komme. Zum einen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und zum anderen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber da passt ja keiner der beiden zu der Ebenenschar (im ersten Post). Es muss aber eigentlich eine geben.
28.04.2006, 20:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, beide passen. Beachte, daß ein Normalenvektor einer Ebene nicht eindeutig bestimmt ist, sondern mit einem beliebigen von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ verschiedenen Skalar durchmultipliziert werden darf. Nehmen wir z.B. den zweiten Vektor. Dort ist die zweite Koordinate $\begin{eqnarray} -6 \end{eqnarray}$ -mal so groß wie die erste. Du müßtest also $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ so bestimmen, daß $\begin{eqnarray} 8-6a = -6 \cdot (5a-4) \end{eqnarray}$ gilt. Mit dem gefundenen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gehst du dann in die Ebenengleichung. Du kannst sie dann so durchmultiplizieren, daß du auf die Koordinaten deines Normalenvektors kommst.
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28.04.2006, 20:49	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der 1. normalenvektor gehort zu a = 2..... werner (pardon: ich war offline, habe den letzten beitrag nicht gesehen)
29.04.2006, 11:24	hamster	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn die normalenvektoren jetzt nicht gleich lang gewesen wären hätte ich einfach beide normiert und dann genauso weiter gemacht oder?
29.04.2006, 11:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, entweder normieren oder z.B. dadurch auf die gleiche Länge bringen, daß man jeden mit der Länge des anderen multipliziert. So vermeidet man häßliche Brüche. Im allgemeinen Fall kommen da aber häßliche Wurzeln ins Spiel. Du hast hier also "Glück gehabt" ...

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