Paradoxes (?) Problem

24.07.2008, 14:37

The_Unknown

Paradoxes (?) Problem

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, die eigentlich äußerst trivial aussieht, aber ich stolpere da grade etwas Augenzwinkern

Es geht um:
$\begin{eqnarray*} A*(\frac{1}{\sqrt{(-R)^{2} } } ) \end{eqnarray*}$

Hier kann man ja einfach die Wurzel ziehen und man erhält als Vereinfachung:
$\begin{eqnarray*} A*(\frac{1}{-R} ) \end{eqnarray*}$

Wendet man aber erst das Quadrat an, also so:
$\begin{eqnarray*} A*(\frac{1}{\sqrt{(-1)^{2}(R)^2 }} ) = A*(\frac{1}{\sqrt{1*(R)^2 }} )=A*(\frac{1}{R} ) \end{eqnarray*}$
kommt ein völlig anderes Ergebnis heraus.

Sehe ich da etwas falsch, oder warum kriege ich hier 2 verschiedene Lösungen heraus ? Das dürfte ja eigentlich nicht sein.

Danke im Voraus.

Ciao TheUnknown

24.07.2008, 14:40

tmo

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Wer hat dir denn das Märchen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ erzählt? verwirrt

24.07.2008, 15:22

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Hallo,

Zitat:

Original von tmo
Wer hat dir denn das Märchen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ erzählt? verwirrt

vermutlich irgendein Lehrer. Bei manchen lässt die mathematische Bildung sehr zu wünschen über.

Also:
1. (-R)^2 = (-R)(-R) = R^2

Das Quadrat wird als erstes 'ausgeführt'.

Ansonsten gilt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = |x| \end{eqnarray*}$

Somit dann also $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-R)^2} = |-R| \end{eqnarray*}$ . Aber pass auf, $\begin{eqnarray*} |-R| \neq R \end{eqnarray*}$ .

24.07.2008, 16:02

Airblader

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Aber immerhin $\begin{eqnarray*} |-R| = |R| \end{eqnarray*}$

air

24.07.2008, 17:58

The_Unknown

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Stimmt, die Beträge waren der Fehler.

Aber ihr habt Recht. In der Schule lernt man
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } = (x^{2} )^{\frac{1}{2} } = x^{2*\frac{1}{2} } = x^{\frac{2}{2} } =x \end{eqnarray*}$

Und für Schulbildung (=Allgemeinbildung) reicht das auch völlig aus.

24.07.2008, 18:06

Rare676

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Zitat:

Original von The_Unknown

Und für Schulbildung (=Allgemeinbildung) reicht das auch völlig aus.

Ich hoffe, dass das nicht ernst gemeint war unglücklich

Edit: Schul- und Allgemeinbildung sollte man hier nicht unter einen Hut fassen...

24.07.2008, 18:07

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alles positiv...

Zitat:

Original von The_Unknown
Und für Schulbildung (=Allgemeinbildung) reicht das auch völlig aus.

Das nennt man wohl positives Denken. Nun ja, wenn man bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch immer nur positiv denkt - also das nur auf positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so anwendet - dann stimmt es ja auch. Big Laugh

24.07.2008, 18:11

Airblader

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Zitat:

Original von The_Unknown
In der Schule lernt man
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } = (x^{2} )^{\frac{1}{2} } = x^{2*\frac{1}{2} } = x^{\frac{2}{2} } =x \end{eqnarray*}$

Nein, tut man nicht.
Das lernen nur die Schüler, die nur halb hinhören. Denn zu dieser Potenzregel gibt es eben auch Einschränkungen.

air

24.07.2008, 18:23

The_Unknown

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Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von The_Unknown
In der Schule lernt man
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } = (x^{2} )^{\frac{1}{2} } = x^{2*\frac{1}{2} } = x^{\frac{2}{2} } =x \end{eqnarray*}$

Nein, tut man nicht.
Das lernen nur die Schüler, die nur halb hinhören. Denn zu dieser Potenzregel gibt es eben auch Einschränkungen.

air

Woher bitte willst du wissen, was ich in der Schule gelernt habe ?

Nehmt es nicht übel, aber der größte Teil der Bevölkerung ist nicht Mathematik-affin. Und diese Potenzregel braucht ebendieser Teil der Bevölkerung (welcher Schulbildung genießt [die normalerweise zumindest als Teilmenge der Allgemeinbildung bezeichnet werden kann Big Laugh

]) niemals wieder. Wenn man Brötchen verkauft muss man keine Wurzeln aus Quadratzahlen ziehen Augenzwinkern

24.07.2008, 18:41

Airblader

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Wenn der Lehrer seinen Unterricht nur halbwegs gut gemacht hat, dann hat er die Einschränkung erwähnt.
Ich bin mir bewusst, dass die meisten sich das nicht behalten. Aber dann darf man doch nicht sagen, in der Schule wurde das so gelehrt.

air

24.07.2008, 20:29

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Hi,
die meisten Potenzregeln die man lernt, gelten nur für positive x (a, b), wie z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ usw., siehe z.B. Potenz # Rechenregeln

Nur als Schüler vergisst man soetwas eigentlich sofort wieder, da die Fälle, in denen es nicht geht, eigentlich nie auftreten und so generalisiert man dies gerne mal schnell für alle x (aus IR).
Wenn man dann im Studium ist und sich wundert, warum denn das aufeinmal nicht mehr geht und nochmal in seine alten Bücher schaut, z.B. in eine Formelsammlung die man zum Abitur hatte, wird man feststellen, dass diese Einschränkungen dort wirklich auch stehen und man sie jahre lang nie gesehen hat.

Als Schüler ist man es oft einfach nicht gewohnt, irgendwelche Bedingungen zu überprüfen, bevor man etwas anwendet, da die Schulaufgaben eigentlich immer die Anwendung von Regeln/Gesetzen erlauben.

Leider sind auch nicht alle Mathelehrer so Mathe-Affin, wie man sich es wünschen würde, oder haben es über die Jahre aufgegeben.

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