Determinanten

29.04.2006, 13:04

Passepartout

Determinanten

Hallo,

ich sitze gerade dabei ein paar Determinanten auszurechnen, was sich leider doch als schwieriger gestaltet als ich dachte.

Zunächst geht es um diese:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n & a_n \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe versucht, die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen, weil sich dann die Determinante ja recht einfach errechnen lässt; Leider will mir das nicht so recht gerlingen, es bleibt halt immer das $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ in der zweiten Zeile stehen (habe alle unteren mal abgezogen). Wenn oben nicht die Einsen stünden, wäre es schön Augenzwinkern

Für Tipps wäre ich dankbar,

lieben Gruß,
Michael

29.04.2006, 14:59

20_Cent

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wenn du eine zeile der matrix mit etwas multipliziert, ändert sich die determinante um den selben faktor, einfaches bsp:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erste zeile mal 2 ändert offensichtlich die determinante um den faktor 2.

so müsstest du die matrix auf zeilenstufenform bringen können, musst dir eben nur alle faktoren merken, mit denen du die ausgangs(!)zeilen multipliziert hast, wenn du eine zeile minus das vielfache einer anderen rechnest zählt dieses vielfache nicht.

mfG 20

29.04.2006, 16:08

phi

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Du könntest auch ganz zu Anfang erstmal die erste Zeile mal b1 nehmen und von den restlichen Zeilen abziehen. Und dann die 2. Zeile mal .... usw.

mfg, phi

29.04.2006, 16:59

Passepartout

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Hallo,

ich danke Euch.
hab mal der Einfachheit erstmal einfach eine 3x3 Matrix genommen und da die Grundproblematik hergestellt. Schreibe Euch mal hin, wie weit ich das so gemacht habe und erkläre dann, wo es hakt.
Habe die erste Zeile mit $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ multipliziert; dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 \end{vmatrix} = \frac{1}{b_1} \cdot \begin{vmatrix} b_1 & b_1 & b_1 \\ b_1 & a_1 & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 \end{vmatrix} = \frac{1}{b_1} \cdot \begin{vmatrix} b_1 & b_1 & b_1 \\ 0 & b_1-a_1 & b_1-a_1 \\ 0 & b_1 - b_2 & b_1 - a_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich zwar duruch Multiplikation von $\begin{eqnarray*} b_1 - a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2-b_1 \end{eqnarray*}$ zwar nach Subtraktion eine Zeilenstufenform erreichen, denke aber, dass das bei n x n Matrizen dann ziemlich blöde wird.

Schönen Gruß,
Michael

29.04.2006, 17:01

20_Cent

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vielleicht kann man das allgemein formulieren, könnten zwar ziemlich große ausdrücke werden, aber die matrizen sind ja auch nicht sonderlich schön...
mfG 20

29.04.2006, 17:16

phi

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Zitat:

Original von Passepartout
Nun könnte ich zwar duruch Multiplikation von $\begin{eqnarray*} b_1 - a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2-b_1 \end{eqnarray*}$ zwar nach Subtraktion eine Zeilenstufenform erreichen, ...

Genau das führt wie 20Cent schon sagte zum Ziel, zu einer Summendarstellung.

Aber: Wenn man eine Zeile multipliziert um sie von einer anderen abzuziehen, muss man erstere gar nicht mulitpliziert stehen lassen. Einfacher wird´s wenn du z.B die Einsen der 1.Zeile einfach so stehen läßt. Dann brauchst du nicht wieder durch b1 zu teilen.

"Durch Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile ändert sich die Determinante nicht "

mfg, phi

Edit: Na, wo hängts? Nach dem ersten Schritt kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ...& 1 \\ 0 & (a_1-b_1) & (a_1-b_1) & ... & ...& (a_1-b_1) \\ 0 & (b_2-b_1) & (a_2-b_1) & ... & ...& (a_1-b_1) \\ . & . & . & . & & \\ . & . & . & & . & .\\ 0 & (b_2-b_1) & (b_3-b_1) & ... & (b_n-b_1)& (a_n-b_1) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

So und nun die den folgenden Bruch mit der neuen 2. Zeile malnehmen, und von allen folgenden Zeilen abziehen, was darauf hinausläuft (b1-b2) dazu zu addieren:

$\begin{eqnarray*} - \frac{b_2 - b_1}{a_1 - b_1} \cdot (a_1 - b_1)= + b_1 - b_2 \end{eqnarray*}$

Spätestens nach der 3. Zeile müsste dir ein Licht aufgehen. Augenzwinkern

mfg, phi

30.04.2006, 16:58

Passepartout

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Hallo,

ich danke Euch. Die Determinante lautet dementsprechend wohl

$\begin{eqnarray*} \det A = \prod\limits_{j=1}^n (a_j-b_j) \end{eqnarray*}$

Leider habe ich bei einer weiteren Determinante auch ein kleines Problemchen, aber ich glaube, das ist noch ein wenig kniffliger, probiere nochmal ein wenig rum, und wenn ich nicht weiter komme, wirds demnächst wohl einen weiteren Post geben... :S

Lieben Gruß,
Michael

30.04.2006, 17:23

phi

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Yep! hab ich auch. Ja mach das.

mfg, phi

30.04.2006, 18:44

stef123

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Die Determinante kann man auch einfacher berechnen. Man subtrahiere von der (n+1). Spalte die n. Spalte, dann von der n. Spalte die (n-1). Spalte, von der (n-1). Spalte die (n-2). Spalte etc.
und erhät damit eine Zeilenstufenform.

Beispiel für n=2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ b_1 & a_1 & 0 \\ b_1 & b_2 & a_2 -b_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b_1 & a_1 - b_1& 0 \\ b_1 & b_2-b_1 & a_2 -b_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

01.05.2006, 17:11

Passepartout

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Hallo,

danke Dir Stef, damit kommt man wirklich schnell auf die Lösung. Wäre super, wenn ihr mir bei folgender Determinanten auch noch einen kleinen Tipp geben könntet, ich habe da irgendwie ein wenig ein Brett vorm Kopf...
Wie geht ihr eigentlich so generell an sowas dran?

Also folgende Determinante ist gesucht.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1+b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & b_n \\ b_1 & a_2+b_2 & b_3 & \ldots & b_n \\ b_1 & b_2 & a_3+b_3 & \ldots & b_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n + b_n \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst dachte ich, es geht, wenn man einfach die n.te Zeile von der (n-1). abzieht usw. Aber das führt leider zu keiner Dreiecksform...

Für Tipps wäre ich sehr dankbar,

Michael

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