Summe einer Reihe

29.04.2006, 14:19	daN-R-G	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe einer Reihe Hallöchen! Ich habe hier ne Aufgabe, wo ich leider nicht weiter weiß, wie ich hier herangehen soll. Man berechne die Summe der Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{4n^2-1} \end{eqnarray}$ . Wie gehe ich denn hier am Besten ran? Die Summe einer Reihe ist doch der Grenzwert der Folge der Partialsummen, oder? Ich habe mir einmal die ersten Glieder aufgeschrieben, also $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}, \frac{1}{15}, \frac{1}{35}, \frac{1}{63} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie weiß ich nicht weiter.
29.04.2006, 14:27	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n-1} \end{eqnarray}$ Suche mal nach geeigneten A und B. Dann hast du eine Teleskopsumme. EDIT Hier ist ein Fehler drin. Um die nächsten Postings nicht aus dem Zusammenhang zu reissen, bleibt er drin. Korrigierter Ansatz ist weiter unten
29.04.2006, 14:50	daN-R-G	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab scheinbar wieder nen Brett vorm Kopf. Wie kommt man denn von $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \end{eqnarray}$ auf die Form $\begin{eqnarray} \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n-1} \end{eqnarray}$
29.04.2006, 14:58	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Stichwort ist Partialbruchzerlegung. Das A und B ist eindeutig bestimmbar. Das musst du aber noch machen Bringe die Seite mit A und B mal auf einen Bruch und mache im Zähler Koeffizientenvergleich. Damit kannst du A und B bestimmen.
29.04.2006, 15:00	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
das unter dem B soll wohl ein + sein mfG 20
29.04.2006, 15:03	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups. Danke 20_Cent. Ist mir nicht aufgefallen. @daN-R-G Da hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen. Der richtige Ansatz für Partialbruchzerlegung ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\stackrel{!}{=}\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1} \end{eqnarray}$
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29.04.2006, 15:48	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zur Aussprache: man nennt das nicht Summe einer Reihe, die Reihe selbst ist ja eine unendliche Summe der Folgenglieder. Man nennt es "Wert der Reihe" (Reihenwert) und das ist der Grenzwert der Partialsummenfolge (wenn existent).

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