Gemeinsamer Punkt zweier Funktionen |
| 29.04.2006, 14:24 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gemeinsamer Punkt zweier Funktionen |
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| 29.04.2006, 14:35 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast also die Funktionen: y ist nicht die umkehrfunktion zu f. das wäre Oder ist die Funktion anderes ? ft(x)=(3t/t+e^x) it deiner Klammernsetzung kürzt sich t raus und du bekommst, f(x)=3+e^x. meinst du evtl. das? dann wäre Also bitte klär mich dahingehend mal auf! |
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| 29.04.2006, 14:39 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ft(x)=((3*t)/(t+e^x)) Müsste jetzt klarer sein. |
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| 29.04.2006, 14:42 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also so wie ichs auch zuerst interpretiert habe. aber y ist immernoch nicht die Umkehrfunktion, diese habe ich oben gepostet. Soll nun ein Gemeinsamer Punkt mit der umkehrfunktion bestimmt werden, oder soll ein Gemeinsamer Punkt mit dem gegebenen y bestimmt werden ? |
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| 29.04.2006, 14:46 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die Aufgabe heißt: Begründen Sie,dass für jedes t>0 die Schaubilder von ft und der Umkehrfunktion von ft genau einen gemeinsamen Punkt Pt besitezn. |
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| 29.04.2006, 15:04 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn das die ganze aufgabe ist und die Errechnung des Punktes nicht gefordert ist, dann vereinfacht dass das ganze natürlich erheblich! Fangen wir mal so an: Welche Punkte hat eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion gemeinsam? Welche besondere Eigenschaft hat diese Hier vorliegende Funktion, sodass es nur einen Punkt geben kann ? wenn du diese Fragen beantworten kannst, hast du die Aufgabe gelöst 
servus |
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| 29.04.2006, 15:09 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Werde den Punkt schon brauchen denn ich soll dann noch machen: Für welchen Wert von t ist Pt der Wendepunkt von ft? Also brauche ich den Punkt. Und wenn ich die Fragen von dir beantworten könnte, hätte ich wahrscheinlich nicht die Frage gestellt. |
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| 29.04.2006, 16:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Lazarus Kann man die Fixpunkte überhaupft berechnen? Man hat ja da immer zwei unterschiedliche Funktionstypen, sprich z.B. e-Funktion und Polynom. Vielleicht kann man auch was mit Hilfe der Charakterisierung der Graphen erreichen, also z.B. über die Defintionsmengen, Verhalten an den Grenzen, Steigungsverhalten... Gruß Björn |
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| 29.04.2006, 18:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nur so als allgemeiner Tipp: Fixpunkte der Funktionsumkehrung (sprich: spätere Schnittpunkte von Funktion und Umkehrfunktion) liegen stets auf der ersten Winkelhalbierenden. Muss man also nur Ausgangsfunktion mit y=x schneiden..... |
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| 29.04.2006, 19:50 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie Jochen schon gesagt hat, hat eine Funktion genau die Punkte mit ihrer Umkehrfunktion gemeinsam, die Schnittpunkte mit der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten sind, und somit als Fixpunkte zwangsläufig Schnittpunkte sind.
Die Funktion f ist für beschränkt und streng monoton fallend, somit auf dem Beschränkten Wertebereich eine Injektive Abbildung. Da y=x streng monoton steigend ist, kann nur ein Schnittpunkt vorliegen. Zur Anderen Teilaufgabe: Du kannst gerne den Punkt ausrechnen, doch ob dieser Weg schneller ist wage ich zu bezweifeln. Ich hatte es hier schon abgetippt, allerdings ist mein PC dann abgeschmiert, und werds jetzt nicht nochmal abtippen.. Allerdings kann ich dir versichern, es gibt einen Weg ohne große Rechnerei! Als erstes solltest du mal die Wendepunkte bestimmen! Dabei sollte dir die Position der y-Werte ins Auge springen... mehr will ich jetzt für den Anfang garnicht verraten, denn sonst hast du ja garkeinen Spass mehr an der Aufgabe! servus |
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| 29.04.2006, 20:43 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So habe mal den Wendepunkt ausgerechnet. W(ln(t) / ((3t)/(t+e^ln(t))) Nachdem ich ein paar Werte eingegeben habe ist mir aufgefallen das y immer 1,5 ist. Und wenn ich deine Umkehrfunktion verwende, sind beim gemeinsamen Punkt y und x immer gleich. Edit: t mussen zwischen 4 und 5 liegen damit Wendepunkt und Punkt Pt zusammen fallen. Durch probieren habe ich rausgefunden das t=4,5 sein muss damit Wendepunkt und Punkt Pt zusammen fallen |
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| 29.04.2006, 23:39 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... Das ist aber nicht dein Ernst oder ? Also bitte !!! Das mit dem zwischen vier und fünf ist auch schonmal ganz nett .. es sit ungefähr 4,48.. wie kommt man rechnerisch und vorallem exakt drauf ? Ganz einfach man setzt an, direkt aus dem was sich aus dem punkt ergibt: |
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| 30.04.2006, 09:42 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah danke. Achja noch ne Frage zu deiner Umkehrfunktion: Der DB muss doch x Element R+ mit der Einschränkung 0<x<3 sein oder? Und der WB müsste y Element R sein? |
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| 30.04.2006, 12:27 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Wertebereich der Ursprungsfunktion wird zum Definitionsbereich der Umkehrfunktion und der Definitionsbereich zum Wertebereich, vorrausgesetzt die Urfunktion ist Bijektiv. Da f(x) hier Bijektiv ist (leicht zu beweisen) ist es auf ganz R umkehrbar und somit hat f^(-1) wie du gesagt hast und . |
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| 30.04.2006, 13:32 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was mich noch mal interessieren würde(wie du drauf gekommen), wäre die Umkehrfunktion. Da würde ich gerne mal den Ansatz wissen. |
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| 30.04.2006, 15:23 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie immer bei Umkehrfunktionen, nach x aufgelöst und fertig! dann Variablen tauschen, vereinfachen oder was auch immer... Ich frag mich vielmehr wie du auf die Umkehrfunktion kamst, die im ersten Post stand! ist doch immer das gleiche vorgehen ... servus |
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| 30.04.2006, 18:40 | mathpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hatte bei (t*y-3t)/-y einzeln den Logarithmus genommen und nicht alles zusammen. Daher kam was falsches raus. |
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