Mengen

30.04.2006, 10:55

kingskid

Mengen

hi!
hab ein paar verständnisfragen:
1.) warum ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ und die leere menge sowohl offen als auch abgeschlossen?
laut definition würde das doch bedeuten, dass die Mengen auf der einen seite alle Randpunkte enthalten, aber auf der anderen wieder nicht? das ist doch ein widerspruch?

2.) $\begin{eqnarray*} A := Q \end{eqnarray*}$ {=rationale Zahlen} a us (sorry, hab das zeichen nicht gefunden...) $\begin{eqnarray*} \mathbb R = \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$

Warum ist die Menge der inneren Punkte von A leer? innerer Punkt würde doch bedeuten, dass ich eine Kugel drumlegen kann, die nur Punkte von A enthält, oder? und warum funktioniert das nicht?

Die Menge der Randpunkte von A und damit auch die Menge der Berührpunkte von A ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist diese Menge dann weder offen noch abgeschlossen?

30.04.2006, 11:26

Leopold

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Abgeschlossenheit: alle Randpunkte mit dabei
Offenheit: nur innere Punkte

Der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ besitzt überhaupt keine Randpunkte, also gehören sie alle (sie bilden ja die leere Menge) mit dazu:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \cup \emptyset = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Also ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Jeder Punkt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist ein innerer Punkt. Denn um jeden Punkt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ kann man eine offene Kugel des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ legen.

Daher ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen.

Wenn man Topologie axiomatisch betreibt, dann ist die Offenheit des gesamten topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und der leeren Menge eines der Postulate. Damit sind beide, da Komplemente voneinander, auch zugleich abgeschlossen.

Beliebig nahe bei jeder rationalen Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegen irrationale Zahlen. Ein reelles offenes Intervall um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann daher niemals ganz zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gehören.

Zitat:

Die Menge der Randpunkte von A und damit auch die Menge der Berührpunkte von A ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist diese Menge dann weder offen noch abgeschlossen?

Der Sinn dieser Frage erschließt sich mir nicht.
Im übrigen ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen.

30.04.2006, 18:09

kingskid

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hi! danke für deine erklärungen, jetzt ist mir das ganze ein bissle klarer geworden mit dem $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ auch ... smile

zu meiner letzten frage:
In unsrem Skrpit steht folgendes " Sei nun A = Q (rationale Zahlen,Teilmenge von R).
Die Menge der inneren Punkte von A ist leer. (das weiß ich jetzt warum, danke! Augenzwinkern

) Die Menge der Randpunkte von A und damit die Menge der Berührpunkte von A ist R. Auch diese Menge A ist weder offen noch abgeschlossen."
Und dieser letzte Satz leuchtet mir nicht ganz ein, warum das so ist?!

Ich mein wenn die Menge der Randpunkte von A $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist, dann müsste die Menge A doch offen sein?

30.04.2006, 20:51

wurzelzieher

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Wenn die Randpunkte von A ganz |R sind heißt es doch nicht, dass A offen sein muss. Die Offenheit heißt, dass es für jeden Punkt aus A eine ganze Umgebung in A liegt und die Abgeschlossenheit bedeutet, dass A alle Häufungspunkte enthält. Beides ist für die rationalen Zahlen nicht der Fall.

Siehe

http://www.wurzelzieher.de/Offene_Mengen.aspx

etc.

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