Kreis, Punkte

30.04.2006, 11:02	Thisbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis, Punkte Hallo ich hab ein Problem bei dieser Rechnung und zwar komme ich nicht über den ersten Ansatz hinaus. Bsp.: Berechne die Koordinaten jenes Punktes, der von den Punkten A(2/3) und B(3/2) gleich weit entfernt ist und vom Punkt M(-2/-1) den Abstand a (a=5) hat! Also ich habe mir mal gedacht, dass ich einmal eine Kreisgleichung mit M und a aufstelle, da der Punkt ja von M mit dem Abstand a entfernt liegt. $\begin{eqnarray} k: [\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} ] ² = 25 \end{eqnarray}$ k: (x+2)²+(y+1)²=25 Wäre super wenn ma da wer helfen könnt
30.04.2006, 11:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Punkte, die von zwei Punkten $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ gleichweit entfernt sind, liegen auf der Symmetrieachse der beiden Punkte, also auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ . Hier ist es sogar besonders einfach. Da die Punkte $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ durch Koordinatentausch auseinander hervorgehen, ist ihre Symmetrieachse die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten: $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ (Skizze machen!). Gehe mit dieser Zusatzbedingung in die Kreisgleichung.
30.04.2006, 12:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es mal nicht so einfach sein sollte, die Geradengleichung der Mittelsenkrechten zu ermitteln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen: gesucht: lineare Funktion f, mit dem Schaubild einer Geraden (Mittelsenkrechte), also allgemein: $\begin{eqnarray} f(x)=m\cdot x+b \end{eqnarray}$ Man muss also jetzt irgendwie an m (Steigung der Geraden) und b (y-Achsenabschnitt) kommen. Bestimmung von m: Da die Strecke (Vektor) AB zu f senkrecht liegt, gilt : $\begin{eqnarray} m_f\cdot m_{\vec{AB}}= -1 \end{eqnarray}$ () Für zwei allgemeine Punkte A (a1/a2) und B (b1/b2) gilt für die Steigung der Strecke AB: $\begin{eqnarray} m_{\vec{AB}}= \frac{b2-a2}{b1-a1} \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen in () kommst du somit an $\begin{eqnarray} m_f \end{eqnarray}$ Bestimmung von b: Dazu muss irgendein Punkt der Geraden (Mittelsenkrechten) bekannt sein. Wenn du dir mal dazu eine Zeichnung machst, erkennst du, dass der Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M_{AB} \end{eqnarray}$ der Strecke AB auf der Geraden liegt. Es gilt folgende Vektorgleichung für den Ortsvektor zu $\begin{eqnarray} M_{AB} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \vec{OM_{AB}}= \vec{OA}+ \frac{1}{2} \cdot \vec{AB} =\frac{1}{2} \cdot (\vec{OA}+ \vec{OB)}= \frac{1}{2} \cdot ( \begin{pmatrix} a1 \\ a2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b1 \\ b2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Daraus folgt für die Koordinaten des Mittelpunktes und somit gleichzeitig für den Punkt $\begin{eqnarray} P_f \end{eqnarray}$ der Geraden: $\begin{eqnarray} M_{AB}=P_f=(\frac{1}{2} \cdot (a1+b1)/\frac{1}{2} \cdot (a2+b2)) \end{eqnarray}$ Wenn du diesen Punkt $\begin{eqnarray} P_f=(p1/p2) \end{eqnarray}$ jetzt in f(x) einsetzt, also die Gleichung f(p1)=p2 bildest, kannst du diese Gleichung jetzt nach b auflösen. Durch Einsetzen von m und b in $\begin{eqnarray} y=f(x)=m\cdot x+b \end{eqnarray}$ erhälst du somit eine Bedingungsgleichung für y, welche du dann in die Kreisgleichung einsetzen kannst, so dass man diese nur noch nach y auflösen muss. Kannst du ja mal mit diesen (oder anderen) Punkten testen. Gruß Björn

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